13. Лоду n-г1о порядка с постоянными коэффициентами

Частным случаем линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ n-го порядка (n>2) с постоянными коэффициентами:

y⁽ⁿ⁾ + p₁y^{(n – 1)} + p₂y^{(n – 2)} + … + p_ny = 0, где p_i , i =1,n - числа.

Частные решения этого ур-ния имеют вид y = e^kx, где k-постоянное число.

Характеристическим для уравнения y⁽ⁿ⁾ + p₁y^{(n – 1)} + p₂y^{(n – 2)} + … + p_ny = 0 является алгебраическое уравнение n-го порядка вида

kⁿ + p₁k^{n – 1} p₂k^{n – 2} + … + p_{n – 1} k + p_n = 0.

Это уравнение имеет, как известно, n корней (в их числе могут быть и комплексные). Обозначим их через k₁ , k₂ , … , k_n .

Замечание: не все из корней уравнения kⁿ + p₁k^{n – 1} p₂k^{n – 2} + … + p_{n – 1} k + p_n = 0 обязаны быть различными. Так, в частности, уравнение (k – 3)² = 0 имеет два равных корня: k₁ = k₂ = 3. В этом случае говорят, что корень один (k = 3) и имеет кратность m_k = 2. Если кратность корня равна единице: m_k = 1, его называют простым.

Случай 1: все корни уравнения kⁿ + p₁k^{n – 1} p₂k^{n – 2} + … + p_{n – 1} k + p_n = 0 действительны и просты (различны). Тогда функции y₁ = e^k1x, y₂ = e^k2x, … , y_n = e^knx, являются частными решениями уравнения y⁽ⁿ⁾ + p₁y^{(n – 1)} + p₂y^{(n – 2)} + … + p_ny = 0 и образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы). Поэтому общее решение уравнения y⁽ⁿ⁾ + p₁y^{(n – 1)} + p₂y^{(n – 2)} + … + p_ny = 0 записывается в виде

y = c₁e^k1x + c₂e^k2x + … + c_ne^knx.

Случай 2: корни характеристического уравнения равны ( к1=k2 ),

то общее решение будет выглядеть как

Случай 3: корни характеристического уравнения комплексные то есть: k (n)=α±βi и общее решение будет выглядеть как

14. Линейные неоднородные (лн) ду n-го порядка. Структура общего решения лнду

Уравнение вида b₀ (x) y⁽ⁿ⁾ + b₁ (x) y^{(n – 1)} + … + b_n (x) y = g (x), где b₀ (x) ≠ 0, b₁ (x), … , b_n (x), g (x) – заданные функции (от x), называются линейным ДУ n-го порядка. Если g (x) ≠ 0, то уравнение

b₀ (x) y⁽ⁿ⁾ + b₁ (x) y^{(n – 1)} + … + b_n (x) y = g (x) называется неоднородным.

Если функции y₁ = y₁ (x), y₂ = y₂ (x), … , y_n = y_n (x) являются частными решениями этого уравнения, то его решением является функция y = c₁y₁ + c₂y₂ + … + c_ny_n .

Структура общего решения ЛНДУ: общее решение неоднородного уравнения у’’+ау’+ву=f(x) представляет собой сумму общего решения неоднородного уравнения плюс некоторое частное решение неоднородного уравения у_о.н.= у_о.о+у_ч.н.

15. Метод вариации постоянных для решения лнду

Рассмотрим ЛНДУ y” + α₁ (x) y’ + α₂ (x) y = f (x).

Если его правая часть имеет вид то это будет ЛНДУ сос специально правой частью и решается оно другим образом. Его общим решением является функция y = y_ч.н. +у_о.о. Частное решение y_ч.н уравнения y” + α₁ (x) y’ + α₂ (x) y = f (x) можно найти, если известно общее решение у_о.о соответствующего однородного уравнения y” + α₁ (x) y’ + α₂ (x) y = 0, методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоящим в следующем. Пусть _уо.о = c₁y₁ (x) + c₂y₂ (x) – общее решение уравнения y” + α₁ (x) y’ + α₂ (x) y = 0. Заменим в общем решении постоянные c₁ и c₂ неизвестными функциями c₁ (x) и c₂ (x) и подберем их так, чтобы функция y_ч.н. = c₁ (x) · y₁ (x) + c₂ (x) · y₂ (x)

была решением уравнения y” + α₁ (x) y’ + α₂ (x) y = f (x). Найдем произв-ную: (y_ч.н.)’ = c’₁ (x) y₁ (x) + c₁ (x) y’₁ (x) + c’₂ (x) y₂ (x) + c₂ (x) y’₂ (x).

Подберем функции c₁ (x) и c₂ (x) так, чтобы

c’₁ (x) · y₁ (x) + c’₂ (x) · y₂ (x) = 0.Тогда

(y_ч.н.)’ = c₁ (x) · y’₁ (x) + c₂ (x) · y’₂ (x),

(y*)” = c’₁ (x)*y’₁ (x) + c₁ (x)·y”₁(x) + c’₂ (x)*y’₂ (x) + c₂ (x)*y”₂(x). Подставляя выражение для y_ч.н., (y_ч.н.)’ и (y_ч.н.)” в уравнение y” + α₁ (x) y’ + α₂ (x) y = f (x), получим:

c’₁ (x) · y’₁ (x) + c₁ (x) · y”₁ (x) + c’₂ (x) · y’₂ (x) + c₂ (x) · y”₂ (x) + α₁ (x) [c₁ (x) y’₁ (x) + c₂ (x) y’₂ (x)] + α₂ (x) [c₁ (x) y₁ (x) + c₂ (x) y₂ (x)] = f (x). Поскольку y₁ (x) и y₂ (x) – решения уравнения y” + α₁ (x) y’ + α₂ (x) y = 0, то выражения в квадратных скобках равны нулю, а потому c’₁ (x) · y’₁ (x) + c’₂ (x) · y’₂ (x) = f (x).

Таким образом, функция y_ч.н. = c₁ (x) · y₁ (x) + c₂ (x) · y₂ (x) будет частным решением y_ч.н. уравнения y” + α₁ (x) y’ + α₂ (x) y = f (x), если функции c₁ (x) и c₂ (x) удовлетворяют системе уравнений:

{c’₁ (x) · y₁ (x) + c’₂ (x) · y₂ (x) = 0, (1)

{c’₁ (x) · y’₁ (x) + c’₂ (x) · y’₂ (x) = f (x).

Определитель системы | y₁ (x) y₂ (x) | ≠ 0, т.к. это определитель

| y’₁ (x) y’₂ (x) |

Вронского для фундаментальной системы частных решений y₁ (x) и y₂ (x) уравнения y” + α₁ (x) y’ + α₂ (x) y = 0. Поэтому система (1) имеет единственное решение: c’₁ (x) = φ₁ (x) и c’₂ (x) = φ₂ (x), где φ₁ (x) и φ₂ (x) – некоторые функции от x. Интегрируя эти функции, находим c₁ (x) и c₂ (x), а затем по формуле y_ч.н. = c₁ (x) · y₁ (x) + c₂ (x) · y₂ (x) составляем частное решение уравнения y” + α₁ (x) y’ + α₂ (x) y = f (x).