9. Теплопроводность в стержне (ребре) постоянного поперечного сечения.

Рассмотрим распространение тепла в прямом стержне с постоянным поперечным сечением по длине.

f- площадь поперечного сечения стержня.

U- периметр

- температура среды

- для всей поверхности

λ- стержня достаточно велик, а поперечное сечение мало по сравнению с его длиной.

Это дает основание пренебрегать изменением температуры в поперечном сечении и считать, что она распространяется вдоль оси стержня. Отсчет температуры будем вести от

.

Избыточная температура стержня

t - текущая температура стержня.

Если задана температура основания стержня t₁ , то избыточная температура стержня будет:

Уравнение теплового баланса для выделенного элемента стержня:

dQ - количество теплоты, отдаваемое за единицу времени наружной поверхностью элемента окружающей его среде.

Согласно з.Фурье

,

откуда

следовательно

Но согласно ф. Н.-Рихмана

приравнивая получим:

где m, 1/м.

Из этого выражения видно, что для ребра, форма и размеры которого заданы, при условии по всей поверхности и постоянстве λ в рассматриваемом интервале температур, m=const , тогда общий интервал для уравнения будет:

С₁ и С₂ - определяются из граничных условий

Стержень бесконечной длинны:

При x=0 t=t₁ и υ=υ_{1 .} Если l→∞, то вся теплота, подводимая к стержню, будет отдана им в окружающую среду и при x→∞ имеем υ=0.

при x=0 υ₁=C₁+C₂

при x→∞ С₁e^∞=0 - это возможно, только при C₁=0. Таким образом C₂= υ₁

Получим υ=υ₁e^-mx

Тогда можно записать: – безразмер.t-ра

При оребрении нужно выбирать материал ребер с большим λ. Это приводит к уменьшению m и сохранении больших избыточных температур вдоль стержня. При значении m возрастают с возрастанием , что указывает на более эффективную работу рёбер с профилями, имеющими меньшее отношение при этом же конечном сечении.

Количество теплоты, отданной стержнем в окружающую среду:

Стержень конечной длинны:

При x=0 υ=υ₁

При x=l или

- температура на конце стержня, - коэффициент т/от с торца стержня;

Решение даёт:

Если теплоотдачей с конца стержня пренебречь, то:

При x=0 υ=υ₁

При x=l

Количество теплоты, Q_p, Вт, отдаваемое поверхностью ребра в окружающую среду будет равно количеству теплоты, подводимому к основанию ребра

Если длинна стержня очень велика, ch(ml)→∞, а th(ml)≈1, тогда =0 и формула превращается в формулу для определения Q для ∞ длинного стержня.