21. Условие подобия физических процессов

Дифференциальные уравнения отражают наиболее общие черты, явлений и не отражают частные, количественные особенности. Такими особенностями являются форма и размеры системы, физические свойства рабочих тел, условия протекания процесса на границах системы и др. Частные особенности различных явлений одного и того же класса определяются с помощью условий однозначности.

(Пример)

Дифференциальное уравнение теплопроводности - описывает множество процессов, принадлежащих к одному и тому же классу. Общность этих процессов определяется одинаковыми механизмами процесса распространения теплоты. Однако, известны и другие дифференциальные уравнения, аналогичные по форме записи уравнению теплопроводности, например уравнение электрического потенциала. Хотя по форме записи эти два уравнения совпадают, физическое содержание входящих в эти уравнения величин различно.

Уравнения, одинаковые по форме записи, но различные по физическому содержанию, называются аналогичными.

Анализ системы безразмерных дифференциальных уравнений и условий однозначности, делает понятными общее условие подобия физических процессов:

1. Подобные процессы должны быть количественно одинаковы; т. е. они должны иметь одинаковую физическую природу и описывать одинаковые по форме записи дифференциальными уравнениями

2. Условие однозначных подобных процессов должны быть одинаковы во всем, кроме числовых значений размерных постоянных, содержащихся в этих условиях.

3. Одноименные определяющие безразмерные переменные подобных процессов должны иметь одинаковое числовое значение.

Следствия из условия подобия

Пусть имеются два подобных процесса конвективного теплообмена, А и Б. Т. о. если процессы А и Б подобраны, то любая физическая величина в данной точке процесса А пропорциональна соответствующей величине процесса Б, т. е.

.

- константы подобия, и безразмерны, не зависят ни от координат, ни от времени и различны для всех величин, имеющих различный физический смысл.

Если А и В подобен процессу В, то

, причем

Т. о. подобные процессы можно рассматривать как один и тот же процесс, но взятый в различном масштабе, причем масштабы разноименные величины могут быть неодинаковы.

Например, для двух подобных процессов .

,

Подставляя, получим

или

Это и есть условие, ограничивающее произвольный выбор констант .

22. Получение эмпирических формул

Прежде чем обрабатывать данные в числах подобия, нуж­но установить, от каких чисел зависит определяемое значение. Предположим, было получено, что

Nu=f(Re, Рr).

По данным измерений подсчитываются значения Re и Рr и соответствующие им зна­чения Nu. Зависимость между числами по­добия обычно представляется в виде степен­ных функций, например: Nu= cReⁿPr^m.

Предположим, что число Nu зависит только от Re. В этом случае Nu=cReⁿ.

lgNu=lgc+nlgRe.

У=А+nХ – это уравнение прямой.

n – тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс.

И тогда

В случае, если Nu=f(Re, Рr), на графике получается семейство прямых; второй аргумент берется в качестве параметра. Тогда по одной из прямых определяют n, а затем опытные данные представляют на графике в виде зависимости lg(Nu/Reⁿ) =f(lgРr). Из последнего графика определяют m, а затем по уравнению опре­деляют с.

Определяющий размер. За определяющий размер принимают тот, который в большей степени отвечает физическому существу про­цесса.

Определяющая температура. Следует принимать такую температуру, которая в технических расчетах бывает задана или легко может быть вычислена.