26.Теорема о связи функции, её предела и бесконечно малой функции.

Если функция ƒ(х) имеем предел, равный b, то ее можно представить как сумму числа b и бесконечно малой функции α(х), т.е., то ƒ(х)=b+α(х), где α(х)- бесконечно малая величина.

Док-во:

Пусть тогда

, значит , – бесконечно малая величина.

27.Бесконечно большие и бесконечно малые функции, их свойства.

Бесконечно малая функция:

Последовательность называется бесконечно малой, если .

Например, последовательность чисел — бесконечно малая. Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x₀, если . Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо . Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то , . Бесконечно большая функция:

Последовательность называется бесконечно большой, если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки х₀, если

. Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .

Свойства:

Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
Если — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.

28.Сравнение бесконечно малых функций, эквивалентные бесконечно малые функции, их свойства.

Общим у всех бесконечно малых функций явл. их стремление к нулю, однако «скорость» стремления к нулю может быть различной.

Пусть α(х) и β(х)- бесконечно малые, при х→х₀ функции, если , то говорят, что α(х) и β(х)- одного порядка малости. Если же , то говорят, что α(х)-бесконечно малая более высокого порядка малости, чем β(х) и пишут α(х)=0(β(х)).

Бесконечно малые функцииα(x) иβ(x) называются эквивалентными при xa, если . Если α(х) – бесконечно малая функция, то справедливы основные эквивалентности: sinα(x)~α(x); tgα(x)~α(x);arcsinα(x)~ α(x); arctgα(x)~α(x); e^α⁽^x⁾~α(x); ln(1+α(x))~α(x); a^α⁽^x⁾~α(x)*lnα; . При вычислении пределов используются следующие теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях: