2. Основы цифровой электроники

2.1. Логические функции и логические элементы

2.1.1. Основы алгебры логики

Алгебра логики оперирует с двоичной системой счисления и является удобным способом описания работы цифровых устройств, элементы которых могут находиться в двух состояниях – есть сигнал/нет сигнала.

Зависимость выходных переменных , выраженная через совокупность входных переменных , , … называется функцией алгебры логики. Для двоичных входных переменных в общем случае существует различных значений . Функция называется полностью определенной, если заданы все ее значений. В противном случае функция называется неполностью определенной.

Алгебра логики была разработана в 19 веке Дж. Булем, потому она также называется Булевой алгеброй.

Описание логической функции может быть выполнено несколькими способами:

1. посредством словесного описания;

2. при помощи таблицы истинности;

3. при помощи алгебраических выражений.

Основные логические функции приведены в табл. 1.

Таблица 1

Основные логические функции

№	Название			Символ
1	логическое сложение	дизъюнкция	«или»
2	логическое умножение	конъюнкция	«и»
3	сумма по модулю 2	-	«исключающее или»
4	отрицание	инверсия	«не»

Приведем таблицы истинности для основных функций из табл. 1:

( ) 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1

( ) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1

0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0

Основные законы алгебры логики:

			1)
		3)	1)
		3)	2)
			2)

1) Законы склеивания; 2) Законы де Моргана; 3) законы поглощения.

Рассмотрим основные понятия, встречающиеся при описании логических выражений:

1. Элементарная конъюнкция – произведение некоторого числа логических переменных и/или их инверсий. ;

2. Элементарная дизъюнкция – сумма некоторого числа переменных и/или их инверсий ;

Количество переменных в элементарной конъюнкции или дизъюнкции называется ее рангом или длиной.

Минтерм – логическая функция принимающая единичное значение при одном единственном наборе входных аргументов и нулевое значение во всех остальных случаях.

Макстерм – функция, принимающая нулевое значение при одном единственном наборе входных аргументов и единичное значение во всех остальных случаях.

Минтерм

Макстерм

Дизъюнктивная нормальная форма – дизъюнкция (сумма) любого числа элементарных конъюнкций (произведений): .

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма – сумма произведений логических переменных или их инверсий, причем каждое произведение включает в себя все переменные или инверсии, т.е. все элементарные конъюнкции имеют одинаковый ранг: .

Переход от ДНФ к СДНФ:

Конъюнктивная нормальная форма – конъюнкция (произведение) любого числа элементарных дизъюнкций (сумм): .

Совершенная конъюнктивная нормальная форма – произведение сумм логических переменных или их инверсий, причем каждая сумма включает в себя все логические переменные или их инверсии, т.е. все элементарные дизъюнкции имеют одинаковый ранг: .

Переход от КНФ к СКНФ:

Переход от описания логической функции таблицы истинности к ее описанию в СДНФ или СКНФ.

				СДНФ	СКНФ
0	0	0	0	-
0	0	1	1		-
0	1	0	1		-
0	1	1	0	-
1	0	0	1		-
1	0	1	0	-
1	1	0	0	-
1	1	1	1		-