24 Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.

Пусть число λ и вектор S, принадлежащие Л.П., S!=0, таковы, что АS = λS. Тогда число λ – собственное число оператора А, а вектор S – собственный вектор этого оператора, соответствующий собственному числу λ.

Пусть А – линейный оператор, вектор S, отличный от нулевого называется собственным вектором линейного оператора, если он удовлетворяет уравнению А(S) = λS, где λ – собственное число линейного оператора

Если А имеет матрицу А, то в матричном виде уравнение А(S) = λS переписывается в виде, где А – не линейный оператор, а его матрица (А)

S (A - λ) = 0

λ -> λE

S(A - λE) = 0 => или S = 0 (по определению S не равен нулю) или |A-λE| = 0

|A-λE| = 0 – характеристическое уравнение для нахождения собственных чисел матрицы А

Сумма собственных чисел равна следу матрицы (сумме диагональных элементов).

Собственные вектора находятся путем подстановки в характеристическое уравнение собственных чисел матрицы.