9. Системы линейных уравнений. Формулы Крамера.

Система называется линейной, если все неизвестные в ней входят только в первой степени.

Основная матрица А системы квадратная, ее определитель называется определителем системы, если определитель системы отличен от нуля, то система невырожденная.

Умножим обе части уравнения (матричной формы) на А^-1, получим А * А^-1 * Х = А^-1 * В,

А * А^-1 = Е и Е * Х = Х, следовательно Х = А^-1 * В

10. Теорема Кронекера-Капелли.

При этом возможны 2 случая:

1.Ранг матрицы, совпадающий с рангом расширенной матрицы, равен числу неизвестных в системе, тогда система имеет единственное решение

2.Ранг матрицы меньше числа неизвестных, тогда система имеет бесконечно много решений

11. Решение произвольных систем. Метод Жордана-Гаусса.

1. Прямой ход. Матрица коэффициентов (основная) с помощью элементарных преобразований приводится к ступенчатому виду (она станет треугольной, если система имеет 1 решение, или трапецеидальной, если система имеет бесконечно много решений)

2. Анализ системы на совместность, определенность, определение базисных (их число равно рангу матрицы) и свободных (их число равно разности общего числа неизвестных и ранга матрицы) переменных. Базисный минор должен быть отличен от нуля.

3. Обратный ход. Решение ступенчатой системы уравнений, путем выражения неизвестных через другие неизвестные и подстановки их в другие уравнения системы.

12. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.

Фундаментальная система решений – совокупность линейно независимых решений однородной системы уравнений, число решений зависит от числа свободных переменных

Пусть r – ранг матрицы, тогда:

• Если r = n, где n — число переменных системы, то существует только тривиальное решение;

• Если r < n, то существует (n – r) линейно независимых решений рассматриваемой cистемы:  , причём её общее решение имеет вид:  , где   — некоторые константы.

13. Векторы в пространстве и на плоскости. Линейные операции над векторами.

Вектор – упорядоченный набор n чисел (если n равен 2 или 3, то такие векторы - геометрические)

Геометрический вектор – отрезок, имеющий направление

Свободный вектор – вектор, у которого начало может находиться в любой точке

Орт вектора – произведение вектора а на число, обратное его длине = единичный вектор вектора

Векторы равны, если совпадают по длине и направлению

Векторы бывают коллинеарными (лежат на одной прямой или на параллельных), компланарными (лежат в одной плоскости или в параллельных), ортогональными (угол между ними равен 90 градусам)

Линейные операции над векторами:

Умножение на число. Вектор, умноженный на число имеет длину, равную произведению исходной длины на это число, сонаправлен с исходным вектором, если число положительное, противоположно направлен исходному, если число отрицательное

Сложение векторов. Сумма векторов – вектор, соединяющий начало одного вектора с концом другого, если они второй вектор отложен от конца первого. Каждая координата суммы векторов есть сумма соответствующей координаты всех суммируемых векторов. Разность векторов – вектор, соединяющий конец вычитаемого вектора с концом уменьшаемого, если эти вектора отложены от одной точки. Сумма и разность векторов лежат на разных диагоналях параллелограмма, построенного на этих векторах

Свойства линейных операций над векторами: