1. Основные понятия и определения теории графов
П онятие графа
Пусть V – непустое множество, V (2) – множество всех его двухэлементных подмножеств. Пара (V, E), где Е – произвольное подмножество множества V (2), называется графом (неориентированным графом).
Элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Е – рёбрами. Множество вершин и рёбер графа G обозначаются символами VG и EG соответственно. Число |VG| вершин графа G называются его порядком и обозначаются через |G|. Если |G| = n, |EG| = m, то G называют (n,m)-графом.
Две вершины u и v графа смежны, если множество {u, v} является ребром, и не смежны в противном случае. Если e = {u, v} – ребро, то вершины u и v называют его концами. Такое ребро обозначают uv.
Два ребра называются смежными, если они имеют общий конец.
Вершина v и ребро e называются инцидентными, если v является концом ребра e (т.е. e = uv), и не инцидентными в противном случае.
Множество всех вершин графа G, смежных с некоторой вершиной v, называется окружением вершины v и обозначается через N(v).
Упорядоченная пара вершин называется ориентированным ребром.
Ориентированный граф
(или орграф) – это
пара (V, A),
где V
– множество вершин, А
– множество ориентированных рёбер,
которые называются дугами, А
V2.
Если а = (v1,
v2)
– дуга, то вершины v1
и v2
называются её началом
и концом соответственно.
Если граф ориентированный, его обозначают
.
Каждому неориентированному графу можно поставить в соответствие ориентированный граф с тем же самым множеством вершин, в которых каждое ребро заменено двумя ориентированными рёбрами, которые инцидентны тем самым вершинам и имеют обратные направления. Такое соответствие будем называть каноничным.
Если у ребра начало и конец совпадают, то такое ребро называют петлёй.
1.2. Графическое представление графов
Графы удобно изображать в виде рисунков, состоящих из точек и линий, соединяющих некоторые из этих точек. При этом точки соответствуют вершинам графа, а соединяющие пары точек линии (прямолинейные либо криволинейные) – рёбрам (табл.1).
Т
аблица
1
Элементы графов |
Геометрические элементы |
1. v V– вершина |
1. • – точка в пространстве. |
2. {u,v} – ребро неориентированного графа |
2. u•−•v – отрезок. |
3. (v1,v2) – дуги в ориентированном графе |
3. v1•→v2 – направленный отрезок. |
4. {v,v} – петля |
4.
|
– замкнутый отрезок.
1.3. Виды графов
Множество рёбер Е может быть пустым (рис. 1.3.1). Такой граф называется нуль-графом и обозначается Ø.
рис. 1.3.1 Нуль-граф
Если же множество вершин V – пустое, то пустым является также множество Е. Такой граф называется пустым. Линии, которые изображают рёбра графа, могут пересекаться, но точки пересечения не являются вершинами (рис. 1.3.2, а); разные рёбра могут быть инцидентными одной и той же паре вершин (рис. 1.3.2, б), такие рёбра называются кратными. Этот случай соответствует наличию нескольких одинаковых пар (vi,vj) E(G). Граф, который содержит кратные рёбра, называется мультиграфом. Ребро может соединять некоторую вершину саму с собою (рис. 1.3.2, в), такое ребро называется петлёй. Этот случай соответствует наличию в множестве Е пар вида (v,v). Граф с петлями и кратными рёбрами называется псевдографом. Конечный неориентированный граф без петель и кратных рёбер называется обычным.
а
б в
Рисунок 1.3.2. Графы: а) – обычный, б) – с кратными рёбрами, в) – с петлёй