34. Уравнения Колмогорова для одноканальной системы массового обслуживания с отказами.

Допущения: все каналы однотипны, поток обслуживания простейший с инт-ю µ, поток заявок прост. с инт-ю λ.

Условие нормировки Pi = 1

So: μP1- λP0 = 0

↕

P1 = λ/μ*P0

S 1: 2μP2 + λP0 – (λ+μ)P1=0 ↔ P2

S2: 3μP3 + λP1 – (λ+2μ)P2=0 ↔ P3

…

Sk-1: Kμ + λPk-2 – (λ+(k-1)*μ)Pk-1=0 ↔ Pk=

Это система уравнений Колмогорова.

α = λ/μ – приведенная интенсивность потока заявок.

P0+α + + +…+ = 1

P0 = Формулы Эрланга

PK =

Pотк = Pn =

Pобсл = Q = 1 – Pотк

А = λ*Q

N3 = P1 + 2P2+…+nPn

K3 =

28.Получение случайных чисел, подчиняющихся закону Вейбулла

Распределение Вейбулла м.б. двухпараметрическим и трехпараметрическим. Последнее имеет параметр сдвига (перемещение по оси абсцисс). Будем рассм-ть двухпараметрич-ое. Пример (бред какой-то, …):период полураспада знаний о комп-х технологиях сост-т 2 года. Т.е. кажд 2 года половина наших знаний устаревает. Можно показать, что коэф-т изменения полезн. остатка знаний по прошествии k лет подчин-ся распред-ию Вейбулла.

, k – параметр формы.

равномерно распред-ые случ-ые числа

Заметим, что при k=1 распределение становится показательным:

Получение случайных чисел, подчиняющихся закону Релея

Распределения Релея – есть частный случай распределения Вейбулла. Поэтому опишем кратко суть распределения Вейбулла. Распределение Вейбулла м.б. двухпараметрическим и трехпараметрическим. Последнее имеет параметр сдвига (перемещение по оси абсцисс). Будем рассм-ть двухпараметрич-ое. Пример (бред какой-то, …):период полураспада знаний о комп-х технологиях сост-т 2 года. Т.е. кажд 2 года половина наших знаний устаревает. Можно показать, что коэф-т изменения полезн. остатка знаний по прошествии k лет подчин-ся распред-ию Вейбулла.

35. Имитационное статистическое моделирование смо.

Существуют задачи, допускающие аналитическое решение, однако на практике таким путём получить хар-ки СМО не всегда возможно. Н-р, поток заявок не явл-ся простейшим и время обслуживания не подчиняется показательному з-ну. Дисциплина обслуживания м.б. сложной (н-р, имеется сис-ма приоритетов). В таких случаях применяют имитац-ое модел-ие - метод статистических испытаний. Он позволяет исследовать завис-сть показателей эффективности работы сис-мы от пар-ров потока заявок и пар-ров самой СМО, не делая допущений, харак-ных для аналитич-го моделир-ия.

Сущность метода: 1. Формир-ся реализация потока заявок с заданным з-ном распр-ия интервалов м/у заявками. 2. Моделируется пр-сс функционирования обслуживающей сис-мы (это всё пр-ся во времени). Время разбиваем на интервалы ∆t и на них фиксируем состояние сис-мы. Моделир-ся пр-сс, события, связанные с обслуживанием заявки, регистрируется, подсчитывается число успехов и неудач. 3. Случайная реализация пр-ссов воспроизводится многократно, накопленные данные статистически обрабатываются. 4. Обычно входящий поток заявок задают последовательностью моментов поступления. Для моделирования удобнее охарактеризовать их как величину, определяющую длину интервалов м/у соседними поступившими заявками.

Пример. Система с 2 каналами, поток простейший с интен λ. Время обсл 1 заявки в канале постоянно и равно t_обсл. Система-система с отказами. Опред-ть сколько заявок в сред обсл-т система за время T и сколько в средн даст отказов.

Обозначим:

t_k-момент пост-ия k-го требования.

τ_k= t_k- t_k-1 – интервал м\у заявками

t_i-момент оконч обслуж-ия i-ым каналом

Пусть в момент пост-ия k-го треб-ия все каналы свободны. Поступает 1 заявка, она идет на 1 канал. Т.о. в теч t_обсл 1 канал занят.

t₁=t_k+1+t_обсл

В счетчик заявок добавляем единицу. Далее:

τ_k=-1/λ*lnξ_k

ξ_k-равномерно распред случ число с базового датчика

t_k+1= t_k+ τ_k

Проверяем усл t₁<t_k

Если усл вып-ся, то к мом t_k+1 1 канал свободен и обслуж-т заявку, тогда t₁=t_k+t_обсл. Затем добавляем 1 в счетчик обслуж-х заявок и переходим к след заявке.

Если усл не вып-ся, то 1 канал занят в t_k+1. Проверяем свободен ли 2 канал. Если и он занят, то добавляем единицу в счетчик отказов и анализируем след-ую заявку.

Когда вычислим значение t_k+1 необходимо проверить усл окончания работы системы: t_k+1>T

Результаты модел-ия сводятся в табл:

№ заявки	ξk	τk= tk- tk-1	tk	Окончание обсл-ия t1=tk+tобсл			Nобсл	Nотк
				k=1	k=2	…