14.Предел функции. Эквивалентность определений по Коши и по Гейне.

Определение.(по Коши)

Определение.(по Гейне)

Доказательство эквивалентности:

Пусть y0 есть предел функции f(x) при x → x0 по Гейне, т.е. ∀ { } : → x0 при n → ∞ следует, что f( ) → y0 при n → ∞. Пусть y0 не есть предел функции f(x) при x → x0 по Коши, т.е. ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x ∈ ˙ Vδ(x0) ⇒ |f(x)−y0| >= ε. Возьмем δn = 1/n, n = 1,2,... и найдем ∈ ˙ Vδn(x0), где при этом будем иметь | >= ε. Значит имеем { } такую, что → x0 при n → ∞ и кроме того | , что противоречит определению по Гейне.

15. Общие свойства предела функции и арифметические операции.

Свойства:

а) Если y0 предел функции f(x) при x → x0, то f(x) финально ограничена при x → x0;

б) Если f(x) финально постоянна при x → x0 то она имеет предел в точке x0;

в) Если f(x) в точке x0 имеет предел, то этот предел единственный. а) Если функции f : X → R и g : X → R таковы, что lim _x→x0 f(x) = y0, lim _x→x0

g(x) = y1 и y0 < y1 то найдется проколотая окрестность V˙δ(x0) точки x0, в любой точке которой выполнено неравенство f(x) < g(x).

б) Если между функциями f : X → R, g : X → R и h : X → R на множестве X имеет место соотношение

f(x) g(x) h(x) и если lim _x→x0 f(x) = lim _x→x0 h(x) = y0, то существует также предел функции g(x) при x → x0, причем lim_x→x0 g(x) = y0. Следствие. Пусть lim_x→x0 f(x) = y0, lim_x→x0 g(x) = y1. Если в некоторой проколотой окрестности V˙δ(x0) точки x0:

а) f(x) g(x), то y₀ y₁;

б) f(x) g(x), то y₀ y₁;

в) f(x) y₁, то y₀ y₁;

г) f(x) y₁, то y₀ y₁.

16.Предел функции и неравенства.

Число y₀ называется пределом функции y = f(x) в точке x₀ (или, при x → x₀), если для любого ε > 0 можно указать такое число δ = δ(ε) > 0, что при всех x, удовлетворяющих условию 0 < |x − x₀| < δ, выполняется неравенство |f(x) − y₀| < ε, или: y₀= ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x 0 < |x − x₀| < δ ⇒ |f(x) − y0| < ε .

а) Если y₀ предел функции f(x) при

x → x₀, то f(x) финально ограничена при x → x₀; б) Если f(x) финально постоянна при x → x₀ то она имеет предел в точке x₀; в) Если f(x) в точке x₀ имеет предел, то этот предел единственный. Доказательство. Утверждение а) и б), вытекает прямо из соответствующих определений.

Предположим противное, т.е. пусть в точке x₀ функция f(x) имеет два предела y0 и y1, и при этом y₀ y₁, т.е. y₀= ⇔ ∀ε > 0 ∃δ₁ > 0 : ∀x 0 < |x − x₀| < δ₁⇒ |f(x) − y₀| < . и y₁= ⇔ ∀ε > 0 ∃δ₂ > 0 : ∀x 0 < |x − x₀| < δ₂⇒ |f(x) – y₁| < .Тогда ∀x ∈ _δ(x₀), где δ = min{δ₁, δ₂} имеем 0 |y₀ − y₁| |y₀ − f(x)| + |f(x) − y₁| < + что противоречит предположению.