11.Критерий Коши существования предела числовой последовательности.

Опр. Последовательность {x_n} называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если для любого числа ε > 0 найдется такой номер N ∈ N, что из n > N и m > N следует |x_n − x_m| < ε. Теорема (критерий Коши сходимости последовательности). Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна. Док-во. Необходимость. Пусть _n=a Тогда, согласно определения, ε > 0 ∃N ∈ : ∀l > N ⇒ |x_l − a| < Если теперь m > N и n > N, то |x_m − x_n| = |x_m − a + a − x_n| |x_m − a| + |x_n − a| < + = т.е. сходящаяся последовательность фундаментальна.

12.Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

Опр.Последовательность {x_n} называется возрастающей (строго возрастающей) если x_n+1 x_n (x_n+1 > x_n) для ∀n ∈ N. Последовательность {x_n} называется убывающей (строго убывающей) если x_n+1 x_n (x_n+1 < x_n) для ∀n ∈ N. Опр. Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями. Для того чтобы неубывающая последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху. Доказательство. То, что любая сходящаяся последовательность ограничена, было доказано при рассмотрении общих свойств предела последовательности. Пусть {x_n} неубывающая последовательность ограниченная сверху. Тогда множество {x_n | n ∈ N} ограничено сверху. Согласно основной лемме это множество имеет верхнюю грань a = sup x_n. По определению верхней грани для любого ε > 0 найдется элемент x_N ∈ {x_n} такой, что a−ε < x_N a. Поскольку последовательность {x_n} неубывающая, то при любом n > N получаем a − ε < x_N x_n a, т.е. a − ε < x_n < a+ε или |x_n−a| < ε.

Поэтому _n=a.

13.Подпоследовательность.Теорема Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности.

Опр. Если x1,x2,..., ,... – некоторая последовательность, а n1 < n2 < ... < < ... – возрастающая последовательность натуральных чисел, то последовательность 1, 2,..., k,... называется подпоследовательностью последовательности { }.

Теорема 6. (Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Доказательство. Пусть X – множество значений ограниченной последовательности {x_n}. Если X конечное множество, то тогда очевидно найдется a ∈ X который будет повторяться в последовательности бесконечное число раз. Пусть он повторяется под номерами n₁ < n₂ < . . . < n_k < . . . Тогда последовательность {x_nk} постоянна т.к. x_nk = a, ∀ k ∈ и значит сходится. Если X бесконечно, то согласно лемме 5 оно обладает по крайней мере одной предельной точкой a. Поскольку a –предельная точка множества X то можно выбрать n₁ ∈ так, что |x_n1 − a| <1. Если n_k ∈ уже выбрано так, что |x_nk−a| < , то учитывая, что a предельная точка множества X, найдем n_k+1 ∈ так, что n_k < n_k+1 и |x_nk+1−a| < . Поскольку =0, то построенная подпоследовательность x_n1 , x_n2 , . . . , x_nk , . . . сходится к a.

Замечание 1. Мы имеем, что всякая сходящаяся подпоследовательность ограничена, обратное вообще говоря неверно,например, x_n = (−1)ⁿ. Однако для ограниченной последовательности имеет место указанная выше теорема.