Вопрос 53. Арифметическая середина. Вывод формулы средней квадратической погрешности арифметической середины.

Допустим, кучу раз что-то померяли. Получили кучу данных l. Посчитаем их среднее арифметическое: L = сумма всех l, делённая на их количество n.

Из формулы Δ = l – x (погрешностью «дельта» называют отклонение результата измерения l от истинного значения измеряемой величины Х) получается, что l_i = X + Δ_i. Учитывая это, формулу, подсвеченную жёлтым, можно изменить: L = в числителе: (Х – Δ₁) + (Х – Δ₂) + … + (Х - Δ_n), в знаменателе: n. Общий множитель Х можно вынести за скобки, а потом вообще убрать из дроби, и тогда L = Х – (в числителе сумма всех дельт, в знаменателе n). Вот это и есть та формула.

Средняя квадратическая погрешность арифметической середины.

Вот мы кучу раз что-то измерили, получили множество l. Допустим, что точность этих результатов хар-зуется квадр. погрешностями: m₁ = m₂ = m₃ = m_n = m. Треб. найти среднюю квадр. погрешность М арифм. середины.

Нужно сначала переписать формулу, подсвеченную жёлтым в виде (1/n)*l₁ + (1/n)*l₂…

Затем, обработав то, что получилось, по общей формуле (которая с корнем из произведения квадратов дифференциалов и значений m), получаем

M² = (1/n²)*m₁² + (1/n²)*m₂² + …

Преобразовав это, получаем нашу формулу М = m/корень из n.

Вопрос 54. Понятие о неравноточных измерениях, общей арифметической середине и её средней квадратической погрешности.

НЕРАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ — измерения, выполненные приборами разной точности, разным числом приёмов, в различных условиях.

ОБЩАЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СЕРЕДИНА L₀ = сумма всех произведений длинн l на их вес p поделить на сумму всех весов p.

Вес p = c/m_i². С – какая-то константа, которую принимают из соображений удобства счёта, а м итое — средняя квадратическая погрешность итого измерения.

Формула Бесселя (средняя квадратическая погрешность Мю измерения, имеющего вес, равный единице)

Мю = корень из дроби, в числителе сумма произведений всех весов на поправки, возведённые в квадрат (только поправки в квадрате!), в знаменателе n-1.

Поправки V_i к результатам измерений: V₁ = L₀ – l₁, V₂ = L₀ – l₂ …

Формула Гаусса для того же самого: Мю = корень из дроби, в числителе сумма произведений всех весов на (Δ-ы)², в знаменателе n.

Эта формула используется, когда известно достаточно точное близкое к истинному значение измеряемой величины.

18