29. Сформулировать и доказать теорему о существовании общего интеграла у дифференциального уравнения в полных дифференциалах.

Scans_DU (37) – (38)

30.Выписать формулу Остроградского-Лиувилля для линейного уравнения , .

31.Дать определение определителя Вронского для системы векторных функций , .

Определителем Вронского Δ(t) для системы вектор-функций {^(k) }, k∊[1,n] называется определитель матрицы решений

Δ(t)=Det

32.Опишите процедуру исследования решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений на устойчивость по первому приближению.

Для начала введём опр. автономной системы ДУ

Автономной системой ДУ называется система, правая часть которой не зависит от переменной t. Т.о., задача Коши для автономной системы имеет вид:

⦁

При нулевых начальных данных ( _o=0) задача ⦁ имеет ед. тривиальное решение =0 (точка покоя)

Исследование автономной системы на устойчивость сводится к исследованию системы с постоянными коэф. Для этого правую часть уравнения приближенно заменяют разложением в ряд Тейлора, ограничиваясь первым членом разложения, т.е. учитывая, что получим

{a_ij= }

В рез-те получаем лин. систему с пост. коэф.

Исследование такой системы сводится к определению корней характ. ур. Если все Reλ_k>0, то решение асимпт. устойчиво

33.Дать определение устойчивости по Ляпунову решения задачи Коши ⦁

Решение задачи Коши ⦁ называется устойчивым по Ляпунову, если для любого ε>0 существует δ(ε) >0 такое, что при || _o||<δ(ε) для всех t>0 справедливо н-во || (t,x_o)||<ε

для решения задачи

34.Дать определение общего интеграла и общего решения обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка.

Общим интегралом (или общим решением) ДУ называются все решения за исключением особых.

Возможно другое определение общего решения через решение задачи Коши, если считать условия существования и единственности решения задачи Коши выполненными:

Общим решением ДУ, разрешённым относительно пр., явл. все решения задачи Коши при произвольных начальных данных.

35.Свести уравнение , к уравнению Риккати

Введём вектор-функцию =(u₁(t)=y(t),u₂(t)=y’(t)), для которой получится система

или ’(t)= , =

Введём новую функцию z(t)=

y’(t)=z(t)y(t), y’’=z’y+zy’=z’y+z²y

Подставим в исходное ур-е:

z’(t)+z²+a(t)=0 – ур-е Риккати

36.Какая особая точка (точка покоя) линейной системы второго порядка называется фокусом?

Пусть

(y₁(t),y₂(t))^T

Точка покоя называется фокусом, если м-ца А имеет комплексно сопряжённые собственные значения с ненулевыми действительной и мнимой частями

37.Что называется автономной системой дифференциальных уравнений?

Автономной системой ДУ называется система, правая часть которой не зависит от переменной t. Т.о., задача Коши для автономной системы имеет вид:

38.Дать определение особого решения обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка

Особым решением называется такое решение уравнения, во всех точках которого нарушается единственность решения задачи Коши

Пусть F(t,y,y’)=0

Необходимым условием существования особого решения будет

или

39.Сформулировать и доказать теорему об альтернативе для определителя Вронского для решений линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теорема

Определитель Вронского Δ(t) для решений {^(k) }, k∊[1,n] однородной системы ДУ или Δt=0 для ∀t∊r, что означает ЛЗ {^(k) }, или Δ(t)≠0 для ∀t∊r, что означает ЛНЗ {^(k) }.

Д-во

Из теорем:

1)Если решения {^(k) }, k∊[1,n] однородной системы ’-A =0 линейно зависимы при t∊r, То определитель Вронского Δ(t)=0 для ∀t∊r

2)Если определитель Вронского Δ(t)=0 для решений системы ДУ хотя бы для одного t∊r, то Δ(t)=0 и для любого t∊к. И ⇒ решения {^(k)y ̅} ЛЗ на r

Следует справедливость доказываемой теоремы, т.к. если определитель Вронского Δ(t)=0 хотя бы при каком-то r, то он равен 0 при ∀t∊r. Следовательно, если Δ(t)≠0 при некотором t, то он не равен нулю при всех других t∊r

41.Представить общее решение линейного уравнения 2-го порядка, если известно одно его решение .

Пусть y₁(t) – решение линейного однородного ур. 2-го порядка a_o(t)y’’+a₁(t)y’+a₂(t)y=0

По ф-ле Остроградского-Лиувилля