4.Деление отрезка в заданном отношении.
Радиус-вектор r точки А,делящий отрезок А1А2 в отношении А1А: АА2= м1:м2, определяется формулой
r = м2r1+м1r2 \ m1+m2, где r1 иr2- радиус-векторы точек А1 и А2.
Координаты точки А находятся по формулам:
Х= м2х1+м1х2\ м1+м2
У= м2у1+м1у2\ м1+м2
Z= m2z1+m1z2\ m1+m2
5. Понятие радиус-вектора. Разложение произвольного вектора по ортам координатных осей на плоскости и в пространстве.
Радиус-вектор-вектор,
задающий положения точки в пространстве
относительно некоторой заранее
фиксированной точки, называемой началом
координат.Разложение
вектора по ортам координатных осей
6.Действия с геометрическими векторами в координатной форме.Признак коллинеарности векторов.
1) при сложении векторов их координаты складываются, т.е если а=а1+а2, то Х=х1+х2, У=у1+у2, z=z1+z2
2) аналогичное правило для вычитания векторов
3) При умножении вектора на число все координаты умножаются на то же число
4) такое же правило и для деления вектора на число.
А так же:
Каждый вектор равен сумме его геометрических проекций по трем осям координат.
Каждый вектор м равен сумме произведений трех основных векторов на соответсвующие координаты вектора м
Признак Коллинеарности векторов. Коллинеарные векторы. Если векторы а1, а2 коллинеарные, то их соответствующие координаты пропорциональны: Х2:Х1=У2:У1=Z2:Z1. Если коэффициент пропорциональности положителен, то векторы а1 и а2- равнонаправленные. Если отрицателен- противоположено направлены. Абсолютное значение лямбда выражает отношение длин |а2|:|а1|
7.Скалярное произведение геометрических векторов и его свойства. Признак ортогональности векторов.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и bназывается число , равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
а *b= |a|*|b|*cosa. формуле можно придать иной вид, так как|а|*cosa= проекция а на b, а |b|*cosa= проекция b на а. получаем:
а*b=|а|* проекция bна а= |b|* проекция а на b, т.е скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них , умноженному на проекцию другого на ось, со направленную с первым вектором .
Свойства скалярного произведения:
Переместительное свойство а*b=b*a
Сочетательное свойство (лямбда*а)*b= лямбда(а*b)
Распределительное совйство а(b+c)=ab+ac
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длинны а²= |а|²
i²=j²=k²=1
Если векторы а и b(ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0. Справедливо и обратное утверждение что если произведение векторов а*b=0 и а не равен 0 и b не равен 0, то они перпендикулярны. Так же i*j=j*k=k*i=0
Признак ортогональности векторов.
Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен прямому углу, т.е. .90 градусов
8.Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты, длина вектора, расстояние между двумя точками. Вычисление косинуса угла между двумя точками.
Выражение векторного произведения через координаты.Находим по формуле :
Длина вектора
,
Расстояние между двумя точками
Вычисление косинуса угла между двумя точками. Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов.
