Глава 6. Сферическая система координат

Задача настоящего раздела дать возможно наглядное понимание тех особенностей, которые отличают запись уравнений морской гидротермодинамики в сферических координатах.

Запишем систему уравнений гидротермодинамики океана (Океанология. Физика океана. Гидрофизика океана, т.1, 1978. С. 300):

(6.1)

Здесь записаны уравнения движения по параллели и меридиану, уравнение гидростатики, уравнение переноса тепла и солей уравнение неразрывности, а также оператор Эйлера и оператор Лапласа. Буквами F обозначено горизонтальное трение по долготе и широте, буквой θ – потенциальная температура.

Уравнения морских полей в сферической системе координат должны учитывать, что элементарные ячейки на поверхности сферы имеют неравную длину сторон. За счет схождения меридианов протяженность стороны, обращенной к полюсу, будет меньше, чем стороны, обращенной к экватору. Элементарное расстояние по параллели (ось х) связано с географической широтой места и приращением долготы, а по меридиану с приращением широты следующим образом (рис.6.1)

,

где а – радиус Земли, acosφ – расстояние до оси вращения на широте φ, ∂λ и ∂φ – углы, равные приращению долготы и широты.

Рис. 6.1. Пространственные приращения в сферической системе координат

Рассмотрим скалярное поле. Запишем адвекцию температуры по параллели

. (6.2)

Как мы помним, адвекция выражает разность расхода входящего и выходящего потока, то есть его конвергенцию. Поэтому адвекция по меридиану должна учитывать неравную длину сторон сферической ячейки. Запишем разность расходов входящего в ячейку и выходящего потока

.

Сокращая и переходя к пределу, имеем

. (6.3)

Выражение для диффузионного потока не является (в противоположность адвекции) выражением баланса субстанции внутри ячейки и по записи отличается от адвекции

; (6.4)

. (6.5)

Составим теперь конвергенцию диффузных потоков, т. е. сложим производные от q по осям, взятые с обратным знаком, и для движения по меридиану учтем изменение сторон сферической ячейки. Коэффициент горизонтальной турбулентной диффузии будем считать постоянным

(6.6)

При подстановке в это выражение значений q знак минус исчез. Получилось выражение, которое часто заменяется записью

.

Окончательно балансовое уравнение двумерного температурного поля запишем так

, (6.7)

где .

Это выражение учитывает то обстоятельство, что ширина ячейки на сферической поверхности меняется с широтой места.

По такому же образцу записывается поле солености.

Дополнительных объяснений требуют уравнения для проекций вектора скорости. Дело в том, что при переносе скорости из одной точки в другую в сферических координатах изменяются углы между вектором скорости и меридианом, вектором скорости и параллелью (рис. 6.2). В результате в уравнении появляются принципиально новые члены. Постараемся понять их физический смысл.

Рис. 6.2. Перенос проекций вектора скорости в сферической системе координат

На рис. 6.2. показаны проекции вектора скорости в двух соседних точках, А и В. За счет перехода частицы из одной точки в другую проекции скорости переносятся параллельно своему начальному положению и в результате этого не совпадают с направлением меридиана и параллели в новой точке. Возникают отклонения к востоку и югу. Найдем их, исходя из того, что три равнобедренных треугольника с вершинами один в точке D и два в точке A подобны друг другу:

Шарообразность Земли приводит к ускорениям по вертикали, но они несоизмеримы с гравитационным ускорением и не учитываются.

Приведенная в начале раздела запись системы уравнений (6.1) называется дивергентной. Ее можно упростить, разложив адвективные члены оператора Эйлера на парные слагаемые таким образом, чтобы половина слагаемых была идентична уравнению неразрывности и сократилась. В виде примера покажем запись системы сферических уравнений из монографии В. М. Каменковича (1973):

(6.8)