4. Логарифмический слой

В структуру слоев трения, атмосферы над подстилающей поверхностью и океана над дном, входит логарифмический слой. Его можно рассматривать и как самостоятельную модель, и как последние, почти совпадающие по направлению векторы экмановской спирали. Существует спор относительно присутствия логарифмического слоя в верхних горизонтах экмановской дрейфовой спирали (Csanady, 1982). Возможно, он проявляется в особых обстоятельства – при неустойчивой стратификации и при переходе экмановской спирали в ленгмюровскую.

Логарифмический слой имеет по средним оценкам высоту около 50 м в атмосфере и до нескольких метров – в воде у дна. Два условия определяют свойства логарифмического слоя из равновесия сил, действующих на частицу воды, исключается по порядку величин сила Кориолиса; коэффициент вязкости линейно возрастает с удалением от границы (по закону Прандтля-Россби)

. (10.10.1)

Напряжение трения в пределах логарифмического слоя считается постоянным

(10.10.2)

Откуда получаем уравнение

. (10.10.3)

При z = 0 u = 0,

. (10.10.4)

По скорости на двух горизонтах можно вычислить величину скорости трения u_*

. (10.10.5)

Толщина логарифмического слоя пропорциональна напряжению трения

, (10.10.6)

где u_g – скорость геострофического течения.

4. Экмановская модель суммарного течения

Экмановская модель суммарного течения включает два слоя трения – дрейфовый у поверхности и придонный, а также один лишенный трения геострофический слой между ними (рис. 10.11.1). Поскольку модели всех трех слоев нами рассмотрены выше, ограничимся экмановской схемой суммарного течения.

Рис. 10.11.1. Схема трехслойного суммарного течения по Экману (1905):

1 – геострофическое течение в основном слое; 2 – ветровой дрейф на поверхности; 3 – суммарная эпюра в слое дрейфа; 4 – придонная эпюра

4. Бэта-спираль и горизонты нулевых составляющих скорости

Теория бета-спирали, одного из важных открытий теоретической океанологии, предложенная Г. Стоммелом и Ф. Шоттом ¹⁰, неоднократно обсуждалась и уточнялась другими океанологами. Начнем ее изложение с вводных положений.

Уравнение сдвига скорости. Всякое течение можно представить как векторную сумму двух потоков: по оси x и оси y. Если отношения скоростей этих потоков u/v меняются с глубиной, то их результирующий вектор образует спираль с вертикальной осью. Это легко доказать. Пусть стороны воображаемого прямоугольника суть проекции скорости по осям x, y, а диагональ – результирующий вектор. Любой вектор скорости на другом горизонте имеет начало в той же точке, что и первый вектор. Если оба вектора лежат на одной диагонали, то они должны иметь одинаковое отношение проекций скорости на оси координат. Нарушение этого требования приведет к отклонению результирующего вектора от диагонали и, следовательно, к веерообразному расхождению промежуточных векторов.

Выведем уравнения для вертикального сдвига скорости. Дифференцируем по z уравнение геострофики

(10.12.1)

и уравнение гидростатики по х и по у

. (10.12.2)

Подставляя (10.12.2) в (10.12.1), получим связь вертикальных сдвигов скорости с градиентами плотности

. (10.12.3)

Уравнение -спирали. Запишем изменение плотности в движущемся объеме

. (10.12.4)

Примем поле плотности стационарным

. (10.12.5)

Подставив в это уравнение вертикальные сдвиги скорости по (10.12.3), получим уравнение спирали, образованной пересечением потоков с разными сдвигами скорости

. (10.12.6)

Выразим проекции скорости в полярных координатах через модуль вектора скорости V: . Тогда левая часть уравнения спирали запишется

(10.12.7)

и все уравнение примет вид

. (10.12.8)

Ось z здесь направлена вверх, g = |g|. На исследуемой вертикали плотность вод стационарна, но на подходе вода может быть легче или тяжелее. Если d_t < 0 (вода на подходе нагревается, плотность уменьшается), то второй член в скобке (учитывая знак минус перед ним) положителен. При устойчивой стратификации ∂_z < 0 (ось z направлена вверх). При погружении вод w < 0 первый член в скобке положителен. Такие условия характерны для субтропических круговоротов. При этом изменение угла  с приближением к поверхности будет проходить против часовой стрелки (тригонометрический отсчет углов). Это изменение того же знака, как и в дрейфовой спирали Экмана, если ось z направлена вверх. В субполярных круговоротах знак спирали противоположен.

Заметим, что если скорость геострофического течения спиралирует, то перпендикулярный скорости вектор градиента плотности спиралирует в том же направлении с той же скоростью и с опережением по фазе /4 (тригонометрическое направление отсчета углов).

Горизонты нулевых значений составляющих скорости u(z₁) = 0, v(z₂) = 0. Уравнение -спирали (10.12.8) показывает, что нулевые значения проекций скорости на параллель и на меридиан могут возникать за счет вращения вектора скорости. Для количественного решения этой задачи было использовано уравнение -дивергенции, которое выражает баланс завихренности при меридиональном движении объема воды. Левая часть этого уравнения показывает скорость изменения планетарной завихренности по пути движения объема. Правая часть выражает приспособление объема к изменению планетарной завихренности места. Это приспособление осуществляется путем растягивания объема по вертикали. Вывод этого уравнения будет дан позднее. Выглядит уравнение так

. (10.12.9)

Запишем кинематическое условие обтекания поверхности, имея в виду изопикническую поверхность h

. (10.12.10)

Дифференцируем (10.12.10) по z и используем формулу -дивергенции

. (10.12.11)

Запишем формулы для градиентов плотности через наклон изопикн

. (10.12.12)

Введем их в формулы сдвига скорости, где

. (10.12.13)

Подставим (10.12.13) в (10.12.11) и сократим подобные члены

. (10.12.14)

Преобразуем правую часть (10.12.14)

. (10.12.15)

Перепишем (10.12.14)

, (10.12.16)

где .

Кривые вертикального хода переменных k_u, k_v позволяют найти горизонты нулевых значений составляющих скорости u, v.

Из уравнения (10.12.16) следует, что там, где кривые меняют знак наклона, возможны следующие варианты:

1) .

2) .

3) Это означает, что уравнение (10.12.16) удовлетворяется любыми значениями скорости, как нулевыми, так и не нулевыми. Поэтому То есть третий вариант не позволяет определить ни одного значения скорости.