Глава 5. Поле скорости в относительной системе координат

1. Связь абсолютного и относительного ускорений

При движении во вращающейся системе координат абсолютная скорость равна сумме переносной и относительной скорости. Абсолютное ускорение состоит из суммы кориолисова , вызванного совместным эффектом переносного и относительного движений, и относительного ускорений. Следовательно, переходя от абсолютной к относительной системе координат, нужно отнять кориолисово ускорение от абсолютного (или от суммы ускорений, образующих абсолютное)

. (5.1.1)

Следовательно, кориолисово ускорение (при традиционной форме записи) входит в правую часть уравнения со знаком минус. Это справедливо, когда все проекции кориолисова ускорения на оси координат положительны (ось z направлена вверх). Если же мы направляем ось z вниз, то проекция на эту ось меняет знак, что сказывается на знаке в уравнении (4.4.8а).

2. Уравнение движения во вращающейся прямоугольной системе координат

Чтобы получить ускорение относительно неподвижных земных ориентиров нужно ввести в уравнения (3.1.3), (3.1.4) ускорение Кориолиса как показано в (5.1.1)

(5.2.1)

(5.2.2)

где Со_i - составляющая ускорения Кориолиса (например, Со₁ = vf; Co₂ = –uf; Co₃ =0) , записанная нами по форме записи «i-ой компоненты внешних сил » (А. С. Монин, А. М. Яглом Статистическая гидромеханика, ч. 1, с. 36).

Во многих случаях ускорение Кориолиса записывается в более полной форме через тензор перестановок и имеет вид – . Тензор равен нулю, если любые два индекса (i, , ) равны между собой, равен 1, если у индексов четный порядок расположения (1, 2, 3, 1, …), и равен -1, если порядок нечетный (3, 2, 1, 3 …).

Все буквенные индексы пробегают значения 1, 2, 3, соответствующие осям координат х, у, z. Индексы ,  равны между собой, индекс i соответствует оси координат, по которой составляется баланс ускорений. Двойное использование в одночленном выражении одного индекса, или двух индексов, означает суммирование по трем осям координат.

Поясним использование тензора перестановок следующими примерами. Допустим, что i = 1, тогда тензор не равен нулю только при значениях  = 2,  = 3 или  = 3,  = 2. При i = 2 для ,  остаются значения 1, 2. Таким образом:

; , (5.2.3)

где .

Следующее правило поможет запомнить знаки составляющих ускорения. Когда скорость по оси у положительна, то ускорение Кориолиса направлено в сторону возрастающих значений оси х, т. е. положительно. Если скорость по оси х положительна, то ускорение Кориолиса направлено в сторону роста отрицательных значений оси у, т. е. отрицательно.

Уравнение движения, включающее силу Кориолиса в зависимости от его полноты относят к частному случаю уравнений Эйлера или Навье-Стокса, а в некоторых случаях называют уравнением геофизической гидродинамики. Включающая это уравнение полная система уравнений называется уравнениями термогидродинамики океана (Саркисян, Марчук, 1988).

3. Направление осей координат

Океанологи придерживаются традиции направлять ось х на восток и ось у к северу (в северном и южном полушарии). Что касается оси z, то создатели классических учебников по океанологии Х. Свердруп (1942), А. Дефант (1961), А. С. Саркисян (1977) использовали совпадающее с ростом глубин направление вниз (левая координатная система). Это кажется естественным и удобным. Однако это противоречит принятому в геофизике положительному направлению земной оси, вектора вращения Земли и, следовательно, его удвоенной проекции, называемой параметром Кориолиса, или планетарным вихрем .

Последние годы все больше распространяется практика ориентировать ось z вверх, что соответствует использованию правой системы координат.