Сила Кориолиса как проявление центробежной силы
Рассмотрим второй
частный случай – движение по параллели.
Пусть на некоторой параллели северного
полушария частица воды движется на
восток с относительной скоростью u.
Линейную скорость вращения Земли на
той же параллели обозначим через U.
В отличие от примера с ракетой, эта
скорость будет перемещать частицу воды
(вместе с Землей), то есть явится переносной
скоростью. Следовательно, полная скорость
перемещения частицы по траектории,
совпадающей с параллелью, будет U + u,
а центробежное ускорение этого движения
,
где r –
расстояние до оси вращения Земли. Запишем
. (4.3.1)
Первый член правой
части этого равенства –
центробежное ускорение, действующее
на неподвижные частицы земной поверхности
и входящее в ускорение свободного
падения. Третий член – центробежное
ускорение, направленное от оси вращения
Земли и вызванное относительной скоростью
частицы. Второй член –
кориолисово ускорение, вызванное
совместным действием относительного
движения и вращения Земли. Заметим, что
этот член можно переписать, используя
то обстоятельство, что линейная скорость
вращения равна угловой скорости вращения,
умноженной на расстояние до оси вращения.
Таким образом,
.
Полученное центробежное ускорение
направлено по нормали к оси вращения
Земли и имеет проекцию на меридиан (в
сторону экватора). Эта проекция и есть
составляющая силы Кориолиса, равная в
нашем частном случае (рис. 4.3.1)
(4.3.2)
Рис. 4.3.1. К объяснению центробежного проявления силы Кориолиса (J. Knauss, 1978)
Приведенный вывод взят из книги John Knauss "Introduction to Physical Oceanography", 1978.
Аналитический вывод ускорения Кориолиса
Здесь мы также
следуем Дж. Кнаусу. Зададим положение
точки, движущейся по инерции и без трения
по земной поверхности, через координаты
конца радиус-вектора
с началом в
центре Земли
, (4.4.1)
где
,
,
–
направляющие орты прямоугольной системы
координат, вращающейся вместе с Землей
с угловой скоростью
;
x,
y,
z –
координаты конца вектора в этой
прямоугольной системе, их изменение
характеризует смещение конца вектора
относительно фиксированной точки на
земной поверхности, то есть видимое,
относительное движение.
Рис. 4.4.1. К аналитическому выводу силы Кориолиса (J.A.Knauss, 1978)
Поясним, что орты могут изменять только свое направление, но не величину. Поэтому при сохранении прямоугольной системы координат их изменение означает вращение системы
;
;
(4.4.2)
Откуда следует, что
.
(4.4.3)
Дифференцируя (4.4.1) по времени, получаем абсолютную скорость движения точки, состоящую из переносной скорости, вызванной вращением координатной системы вместе с Землей, и скорости относительно неподвижной точки на земной поверхности (относительной скорости)
. (4.4.4)
Первая скобка
означает переносную скорость, вторая –
относительную (
).
Повторное дифференцирование радиус-вектора дает формулу абсолютного ускорения точки
(4.4.5)
Первая и третья скобка в этом уравнении выражают ускорение, вызванное совместным эффектом переносного и относительного движения. Сумма этих скобок называется ускорением Кориолиса, или геострофическим ускорением. Согласно формулам (4.4.2) и (4.4.3) запишем ускорение Кориолиса следующим образом
. (4.4.6)
Если мы прибавим это ускорение к левой части уравнения поля скорости, например (1.5.3), то переведем уравнение движения из абсолютной системы координат в относительную систему, привязанную к земным ориентирам.
Вторая скобка уравнения (4.4.5) выражает переносное центробежное ускорение точки, неподвижной относительно земных ориентиров, и составляет часть земного гравитационного поля. Последняя скобка равна относительному ускорению, т.е. ускорению относительно точки, фиксированной на земной поверхности (это то, что измеряет земной наблюдатель)
. (4.4.7)
При отсутствии движущих сил (напомним, что в нашей задаче движение происходит по инерции и без трения) изменение относительной скорости, ее ускорение, определяется только поворотным ускорением Кориолиса. Следовательно, сумма этих двух ускорений равна нулю. Мы получаем знаменитое уравнение круга инерции, исследованное Феррелем в 1852 г.
(4.4.8)
Заметим, что во
многих задачах о течениях вместо полного
вектора вращения Земли
используется вектор
или
где
.
При этом уравнение (4.4.8) теряет множитель
2 и в первом варианте изменяет знак
. (4.4.8а)
Разложим поворотное ускорение на составляющие
;
,
где
.
Членами разложения с
обычно пренебрегают поскольку один из
них
содержит малую вертикальную скорость,
а другой
направлен по оси z
и подавляется ускорением силы тяжести.
Таким образом, остаются ускорения
;
. (4.4.8b)