6. Уравнения поля солености, температуры и плотности

В балансе этих величин учитываются конвергенции потоков как адвективной, так и диффузионной структуры. Первые конвергенции нам знакомы по уравнению неразрывности. Составим вторые конвергенции по такому же образцу. Пусть элементарный неподвижный объем пространства пересекается диффузионным потоком (1.5.). Запишем конвергенцию этого потока по оси х

. (2.6.1)

По этому же образцу запишутся конвергенции по осям у и z. В результате мы можем составить уравнение поля с учетом адвекции и диффузии

. (2.6.2)

Частные производные обозначены для краткости через индексы у дифференциалов. Это уравнение часто называют уравнением переноса (солености). С учетом уравнения неразрывности адвективные члены в (2.6.2) можно переписать так:

В векторной форме уравнение переноса температуры и солености может быть записано так

(2.6.3)

где _k - оператор, введенный В. Н. Зыряновым (1985) и имеющий вид

. (2.6.4)

Первая скобка в уравнении (2.6.3) называется оператором адвекции и раскрывается в виде суммы символов

. (2.6.5)

Вторая скобка может быть названа оператором диффузии и раскрыта также в виде суммы символов

. (2.6.6)

Тензорная запись уравнения (2.6.2)

, (2.6.7)

где    = 1, 2, 3.

По тому же образцу можно записать уравнение поля температуры, добавив для разнообразия источник в виде объемного поглощения потока коротковолновой солнечной радиации. Обозначим этот поток в воде у поверхности моря через R_o, на глубине через R_z, а коэффициент ослабления радиации через m, тогда (ось z направлена вниз)

. (2.6.8)

При пересечении этим потоком слоя воды ∂z происходит накопление тепловой энергии со скоростью, равной конвергенции потока. Дифференцируя (2.6.8) по z и ставя знак минус, чтобы получить конвергенцию, а также переведя накопление тепла в изменение температуры (делением на плотность и теплоемкость воды), получим простейшее выражение температурного источника

. (2.6.9)

Строгий путь определения изменений поля плотности под действием адвекции и диффузии состоит в том, чтобы определить изменения температуры и солености и по новым значениям этих величин вычислить новое значение плотности, используя уравнение состояния

. (2.6.10)

При приближенном расчете нелинейная зависимость плотности от температуры (и отчасти солености) игнорируется и используется уравнение, подобное уравнению поля солености

. (2.6.11)

Глава 3. Переход к векторному полю в абсолютной системе координат

1. Уравнение Навье-Стокса и Эйлера. Замкнутая система уравнений

При переходе от скалярного поля к векторному полю ускорений можно использовать две системы координат: неподвижную, или абсолютную, и вращающуюся вместе с Землей, относительную.

Первый переход очень прост: например, заменяя в уравнении скалярного поля солености концентрацию соли S на вектор скорости u и оператор набла с коэффициентом диффузии на оператор набла с коэффициентом вязкости, получим уравнение движения в абсолютной системе координат. Это уравнение содержит в правой части два ускорения – ускорение инерции (первый член) и ускорение трения (второй член)

(3.1.1)

Соответствующая тензорная запись имеет вид

. (3.1.2)

Добавим сюда ускорение, вызываемое градиентом давления, -αp, где α – удельный объем, p – давление, а также ускорение свободного падения

(3.1.3)

, (3.1.4)

где символ Кронекера, при , при .

Это довольно полное уравнение движения носит название уравнения Навье­-Стокса. Его вывод состоял в добавлении силы вязкости к балансу ускорений, что было сделано несколькими учеными, из которых по времени первым был Луи Мари Навье (1827) и последним – Георг Стокс (1845). Первый использовал представление о молекулярных силах, второй – ньютонов закон трения. При отсутствии вязкости уравнение (3.1.4) становится уравнением Эйлера. Оно было впервые опубликовано Леонардом Эйлером в 1754 г. в России и в 1755 г. в Германии совместно с уравнением неразрывности, о первых публикациях которого говорилось выше.

В уравнениях Эйлера и Навье-Стокса вместо силы тяжести может стоять символ, определяемый как сумма внешних сил (ускорений), например Это позволяет включать в уравнения по мере необходимости кроме силы тяжести силу Кориолиса, центробежную и приловообразующую силы.

При применении уравнения Навье-Стокса к движущемуся объему жидкости оно выражает второй закон механики. При этом частная производная в левой части заменяется на субстанциальную ( ), а первый член правой части (адвекция скорости) исчезает: проникновение адвекции в движущийся объем невозможно.

Субстанциальная производная может быть разложена на слагаемые . Первое слагаемое выражает ту часть изменение субстанции в движущемся объеме, которая связана с нестационарностью поля. Второе слагаемое показывает те изменения частицы, которые соответствуют пространственному изменению окружающей ее среды по ходу движения и, таким образом, не нарушают стационарности поля. Добавим к этому разъяснение, которое приводится в учебнике Н. А. Фабриканта: «По определению частной производной, она вычисляется при постоянном значении остальных переменных x, y, z. Следовательно, частная производная по времени изображает ускорение в фиксированной точке пространства, следя за разными частицами, проходящими через эту точку, Это есть локальное ускорение. Оно происходит от нестационарности потока. Сумма остальных трех слагаемых составляет ускорение, которое имела бы частица, если бы поток мгновенно стал установившимся. Это ускорение определяется (исчисляется) тем, что установившееся течение имеет в разных точках разную скорость. Оно называется иногда адвективным ускорением или ускорением вдоль линии тока» (Н. А. Фабрикант Аэродинамика, т. 1, 1949 г., с.279).

Трение потока о дно (или ветра о поверхность моря) обычно принимается пропорциональным квадрату скорости потока, удаленного от границы. Это трение часто называют «внешним». При этом, однако, надо помнить, что на граничной поверхности происходит прилипание частиц воды и воздуха, так что трение в виде сдвига частиц развивается внутри потока. Запишем

, (3.1.5)

где С  – коэффициент сопротивления поверхности, u_* – скорость трения, принимаемая приблизительно равной для атмосферы над морем одной двадцатой, а для океана над гладким дном – одной тридцатой геострофической скорости.

Повторим уравнение Навье-Стокса в координатной записи. Для краткости обозначим частные производные через индексы у дифференциалов

(3.1.6)

Уравнение для вертикальной оси в расчетах течений используется в сокращенном виде, который называется уравнением гидростатики

. (3.1.7)

Абсолютная система координат используется в тех случаях, когда пространственные или временные ограничения не дают проявиться поворотному ускорению, возникающему при движении на вращающейся Земле (оно же ускорение Кориолиса, или геострофическое), например, при движении в узком проливе или каньоне, или при орбитальном движении в короткой волне. В большинстве других случаев используется относительная система координат, в которой нужно учитывать поворотное ускорение.

Уравнение движения и гидростатики вместе с уравнением неразрывности, уравнениями переноса температуры и солей, уравнением состояния и граничными условиями составляют замкнутую систему уравнений для нахождения трех составляющих скорости, плотности и давления.