3. Уравнение неразрывности массы несжимаемой жидкости

Запишем уравнение поля плотности с учетом одной адвекции

. (2.3.1)

По определению несжимаемой жидкости все производные плотности не только по времени, но и по пространству равны нулю. Мы приходим к прежнему виду уравнения неразрывности (2.2.3). Теперь его можно назвать уравнением неразрывности массы.

Легко получить уравнение неразрывности массы для движущегося водного объема. Перепишем уравнение (2.3.1) в виде

. (2.3.2)

В левой части этого уравнения стоит изменение плотности в движущемся объеме, которое по определению несжимаемой жидкости равно нулю. Приходим к тому же уравнению неразрывности (2.2.3).

4. Приближение Буссинеска как альтернатива несжимаемой однородной жидкости

Вместо того чтобы использовать представление об идеально несжимаемой жидкости, уравнения неразрывности можно вывести с помощью разложения плотности и последующих сокращений малых величин

, (2.4.1)

где ₀ – средняя плотность, обладающая теми же свойствами, что и в идеально несжимаемой жидкости (_о = const, ), ' – отклонение плотности от средней_.

Подставляя (2.4.1) в (2.3.1) и сокращая , имеем

, (2.4.2)

где два последних слагаемых по порядку величин меньше первого.

Тем самым мы возвращаемся к классическому виду уравнения неразрывности несжимаемой жидкости.

Приведенный подход связан с приближением Буссинеска, при котором пренебрегается некоторыми членами уравнений, включающими малые отклонения плотности (Cushman-Roisin, 1994).

Примечание

Область применения уравнения неразрывности ограничена. Оно служит главным образом для определения вертикальной скорости. На это уравнение нужно смотреть как на одно их многих полезных и оправданных упрощений в гидродинамике, таких как бесконечно глубокое море, бесконечно малая высота волн, отсутствие трения и т. п.

В каждом из показанных выводов уравнения неразрывности предполагается, что диффузия не участвует в балансе объемов или массы воды. В морских условиях возможны ситуации, когда вклад турбулентной диффузии в баланс массы и других характеристик значителен. Например, при отрыве вихревых структур от потока или в грибовидных структурах, когда резкая конвергенция потока компенсируется не вертикальной скоростью, а симметричными боковыми выбросами массы.

Уравнение неразрывности было впервые опубликовано Леонардом Эйлером в трудах Петербургской академии наук (1754) на латинском языке и без использования символов бесконечно малых величин, а на следующий год – в трудах Берлинской академии наук (1755) на французском языке и с математической символикой, близкой современной. Отметим, что публикации вышли за 100 лет до формулировки законов диффузии (см. выше).

5. Примеры использования уравнения неразрывности

Задача № 1. Течение простирается до глубины 30 м и имеет постоянную горизонтальную дивергенцию div = –10^–6с^–1 (конвергенция). Далее до глубины 100 м горизонтальная скорость и горизонтальная дивергенция равны нулю. Высота уровенной поверхности неизменна. Определить величину и направление вертикальной компоненты скорости на глубине z, равной 0, 1, 10, 30, 50, 100 м.

Проинтегрируем уравнение неразрывности от поверхности до глубины z. Так как горизонтальная дивергенция постоянна, заменим ее интегрирование умножением

,

где =(u, v, 0) = ось z направлена вниз.

Отсюда получаем формулу для расчетов скорости, w(z) = z∙10^–6с^–1, действительную по условиям задачи до z = 30 м, далее до 100 м по тем же условиям w = const. В результате имеем

z = 0, 1, 10, 30, 50, 100 м;

w = 0, 10^–6, 10^–5, 3∙10^–5, 3∙10^–5, 3∙10^–5 мc^–1.

Задача №2. Глубинное течение мощностью 1000 м движется по меридиану со скоростью v = 0,1 мс^–1 на север. На широте 40^о с. ш. течение имеет суммарную дивергенцию z div  = –2∙10^–5 мс^–1 (конвергенция). Какова будет толщина течения через десять градусов, предполагая, что вода, вышедшая за пределы начальной толщины течения (1000 м), продолжает двигаться вместе с течением?

Найдем время движения, разделив расстояние в 10^о широты = 600 миль на скорость: 1852∙600/0,1 =111,12∙10⁵ c, или почти 129 суток. Умножим на это время вертикальную скорость 2∙10^–5 м/с и получим, что толщина течения увеличилась на 222 м. Отметим, что на исходной широте 40^о мощность течения не изменится. Конвергенция будет наращивать его толщину только по мере перемещения.

Возьмем те же условия задачи, но потребуем, чтобы вода, выходящая благодаря конвергенции за начальные границы течения (1000 м), прекращала движение. Какова толщина выпавшего из течения за 129 суток слоя воды в исходной точке 40^о с.ш.? Очевидно, ответ будет тот же: 222 м.

Величина конвергенции, взятая нами в этой задаче, не произвольна, а округленно соответствует конвергенции, вызванной изменением широты места.