4. Масштабы локализации возмущений на вращающейся сфере

К таким масштабам можно отнести радиус круга инерции (см. выше)

при f = const. (П.4.1)

Масштаб вдольградиентного пробега частицы, он же высота экмановской циклоиды, называемая еще масштабом тепловой машины

при f = const. (П.4.2)

Глубина трения по (9.3.16) и (9.6.3)

. (П.4.3)

где  – скорость трения; κ = 0,4.

Баротропный и бароклинный радиус деформации Россби:

; (П.4.4)

(П.4.5)

где H – глубина бассейна, h – толщина верхнего слоя воды,  – редуцированная сила тяжести.

Масштаб баротропных синоптических возмущений Обухова

, (П.4.6)

где c – скорость звука (скорость передачи давления).

Разные масштабы локализации напоминают друг друга: в числителе стоит скорость течения, или волны, или трения, а в знаменателе параметр Кориолиса. Часть масштабов была нами уже рассмотрена. Приведем вывод широко используемой в океанологии формулы бароклинного радиуса деформации Россби, или радиуса геострофического приспособления (по Cushman-Roisin, 1994).

Пусть слой теплой воды, имеющий исходную толщину h₀, натекает на толщу холодной воды, образуя клин с уменьшающейся толщиной h. Под воздействием силы Кориолиса натекающий поток разворачивается, образуя геострофическое течение (рис. П.4.1)

, (П.4.7)

где  – редуцированная сила тяжести, ρ₀, ρ₁ – плотности холодной и теплой воды.

Рис. П.4.1. Пример геострофического приспособления (B. Cuchman-Roisin, 1994)

Отметим, что в уравнении (П.4.7) латентно присутствует наклон уровня моря ζ. Так как , то и .

Постулируем, что в процессе геострофического приспособления сохраняется потенциальная завихренность

. (П.4.8)

Подставив в (П.4.8) значение скорости из (П.4.7), получим уравнение для h

(П.4.9)

где .

Введем новую переменную . Заметим, что , откуда уравнение (П.4.9) можно переписать

. (П.4.10)

Общее решение (П.4.10) будет

. (П.4.11)

С ростом x растет , откуда C₂ = 0.

. (П.4.12)

Введем ограничительное условие: при , где x – удаление от начальной границы между теплой и холодной водой. Получаем уравнение для

;

. (П.4.13)

Запишем, что количество теплой воды, вытекшей на холодную, равно убыли этой воды в теплой зоне ( )

. (П.4.14)

Проинтегрируем (П.4.14), используя значения h по (П.4.13) и заменив x на (x­ – R). При этом пределы интегрирования также изменятся

. (П.4.15)

В результате, сократив подобные члены и использовав , найдем бароклинный радиус деформации Россби

. (П.4.16)

5. Планетарные волны

Как было показано при рассмотрении градиентных течений, движение морского потока по меридиану вызывает из-за вращения Земли дивергенцию и генерацию относительной завихренности. Напомним это, выполнив операцию вихря над уравнением неустановившегося градиентного течения в баротропном океане (η – высота уровня моря, ζ – завихренность по оси z, )

; (П.5.1)

; (П.5.2)

. (П.5.3)

Рассмотрим сперва бездивергентную модель движения. С одним таким решением для установившегося поля скорости мы знакомы. Это свердруповский баланс, в котором генерация вихря и дивергенция гасятся ротором ветрового трения. Но представим очень вероятный случай, когда ветер не «расчищает» меридиональный маршрут течению. Потребуем, чтобы изменения скорости во времени и пространстве удовлетворяли бездивергентному варианту уравнения (П.5.3). Поскольку мы рассматриваем движения по меридиану, возмем упрощенное выражение для вихря и получим

. (П.5.4)

Уравнение (П.5.4) имеет периодическое волновое решение

, (П.5.5)

где A – амплитуда изменений скорости,  – частота волны, k – волновое число, или множитель, переводящий линейные величины в угловые ( ),  – длина волны.

Волновое решение (П.5.5) удовлетворяет уравнение (П.5.4), если . Действительно, подставляя (П.5.5) в (П.5.4), получим

. (П.5.6)

Проведем замену ; ; , откуда находим формулу фазовой скорости планетарной волны, порождаемой движением воды по меридиану

. (П.5.7)

Получается, что в рамках бездивергентной модели фазовая скорость планетарных волн направлена на запад и пропорциональна квадрату ее длины. Эволюция ее профиля показана на рис. П.5.1.

Рис. П.5.1. Меридиональное движение, удовлетворяющее условию сохранения абсолютной завихрености в планетарной волне Россби: a – западное движение профиля волны; b – меридиональные компоненты момента сил, возникающих при взаимодействии вихрей; c – суперпозиция двух бегущих волн Россби.

Эволюция профиля волны связана с взаимодействием вихрей одного знака, которые приходят во взаимное вращательное движение того же знака.

Напомним, что перенос энергии волнами и расширение волнового поля происходят не с фазовой, а с групповой скоростью. Рассмотрим скорость движения простейшего волнового пакета, созданного суперпозицией двух бездивергентных волн Россби. Пусть вертикаль Г_1K-П_1D означает на рис. П.5.1 границу волнового пакета, на которой гребень более короткой волны Г_1K совпадает с подошвой более длинной волны П_1D. Скорость движения этой границы имеет две составляющие. Поскольку длинная волна движется быстрее, через время подошва П_2D догонит гребень Г_2K, и граница пакета переместится на восток со скоростью . В то же время гребень волны Г_2K будет перемещаться внутри волнового пакета на запад с фазовой скоростью c₁. Таким образом, скорость смещения границы пакета равна

. (П.5.8)

Подставляя формулу (П.5.7) в (П.5.8) найдем, что групповая скорость бездивергентных волн Россби равна по величине и обратна по знаку фазовой скорости. Таким образом, граница волнового поля движется на восток

. (П.5.9)

Рассмотренная модель отражает предельно простую ситуацию. В ней пренебрегается изменением уровня моря и толщины движущегося слоя воды. Волны, соответствующие моделям, где уровень изменяется, называются дивергентными. Пренебрегать дивергенцией в (П.5.3) больше нельзя. Примем во внимание уравнения дивергенции и баротропной геострофики

; (П.5.10)

. (П.5.11)

Подставим (П.5.10) и (П.5.11) в (П.5.3)

. (П.5.12)

Рассмотрим трехмерную синусоидальную волну, имеющую волновые числа по параллели и меридиану( , )

. (П.5.13)

Подставим (П.5.13) в (П.5.12) и сократим все члены на . Получаем

. (П.5.14)

Формула для зональной составляющей фазовой скорости c_x имеет для дивергентных волн вид

. (П.5.15)

Формулы групповой скорости по осям x и y равны и .

. (П.5.16)

Из (П.5.16) видно, что при (форма волнового пакета почти круглая) волновой пакет стоит на месте. Волновые пакеты, растянутые по оси x (k < l), бегут на запад, а растянутые по оси y (l < k) – на восток.

Закончим обзор планетарных волн примером решения для одиночной волны (или замкнутого геострофического круговорота) в двуслойном океане. Идея решения принадлежит Лайтхиллу, его изложение взято из книги (Tomczak, Godfrey, 1994).

Рассмотрим замкнутую циркуляционную структуру, находящуюся в геострофическом и изостатическом равновесии и расположенную в верхнем слое легкой воды (рис. П.5.2).

Рис. П.5.2. Конвергентные и дивергентные зоны в крупномасштабном геострофическом круговороте (M. Tomczak, J. S. Godfrey, 1994).

Расход геострофического течения зависит от разности высот соседних изогипс динамического рельефа Δh и от широты места, но не зависит от расстояния между изогипсами L

. (П.5.17)

Здесь H – глубина круговорота.

При одинаковой разности уровня Δh геострофический расход будет тем более, чем ближе расположен разрез к экватору. По этой причине в западной части антициклонического круговорота создается конвергентная зона, а в восточной – дивергентная. Накопление воды в конвергентной зоне будет приводить к подъему уровня и смещению изогипс круговорота на запад. Убыль воды в дивергентной зоне приведет к смещению восточной границы круговорота также на запад.

Движение на запад будет наблюдаться и у циклонического круговорота, при этом в западной его части возникает дивергенция, а в восточной – конвергенция.

Из этой простой схемы можно получить скорость движения круговорота. Вычислим величину конвергенции, используя формулу (П.5.17)

. (П.5.18)

Разделив конвергенцию (накопление воды за единицу времени) на площадь зоны ΔxΔy, получим скорость заглубления круговорота в зоне конвергенции, то есть

. (П.5.19)

Заменим разность высот уровня Δh на разность заглубления изобат на нижней поверхности круговорота:

, а также на . Разделив в формуле (П.5.19) на , получим формулу скорости смещения на запад круговорота, которым моделируется бароклинная волна Россби

. (П.5.20)

Эта скорость зависит от широты места. Томчак и Годфрей приводят такие расчеты: при H = 300 м, Δ/ = 3∙3^–3; C_k = 1,27 м с^–1 на 5^о ш., 0,08 м с^–1 на 20^о ш. и 0,02 м с^–1 на 40^о ш. Чтобы волна пересекла Тихий океан на широте 5^о, требуется 6 месяцев, а на широте 40^о – 20 лет.