4. Вихрь и уровенная поверхность

Подвергнем перекрестному дифференцированию уравнения градиентного течения

; (11.4.1)

. (11.4.2)

Вычтем первое уравнение (11.4.2) из второго и пренебрежем изменением широты места

(11.4.3)

Если нижняя граница слоя h неподвижна и завихренность одинакова по глубине, то

(11.4.4)

где  – уровень моря.

В левой части уравнения (11.4.4) стоит ускорение вихря полного потока, в правой – скорость изменения высоты уровня, умноженная на планетарный вихрь f. Таким образом, условия постоянства уровня и завихренности связаны между собой и могут быть взаимозаменяемы. Понять связь двух явлений можно через закон сохранения завихренности: растяжение столба воды приводит к увеличению его угловой скорости, увеличение угловой скорости растягивает столб.

5. Дивергенция полного потока дрейфового течения и вертикальная скорость

При постоянном уровне моря η

. (11.5.1)

При и

.

При и

.

Подставим значения полного дрейфового переноса , в составляющие дивергенции по осям координат

; (11.5.2)

. (11.5.3)

Таким образом, при постоянном уровне моря дивергенция дрейфового течения должна компенсироваться вертикальным переносом воды через нижнюю границу дрейфового течения

, (11.5.4)

где  – полный поток массы дрейфового течения.

Впрочем, при увеличении толщины верхнего слоя он будет всплывать, и уровень моря повысится.

6. Дивергенция полного потока геострофического течения

Перекрестно продифференцируем уравнения геострофического течения

; (11.6.1)

. (11.6.2)

Вычтем результат дифференцирования, записанный в правой части уравнения (11.6.2), из правой части уравнения (11.6.1) и проинтегрируем до постоянной глубины h

, (11.6.3)

где S_g – полный поток массы геострофического течения; .

Уравнение (11.6.3) есть уравнение баланса завихренности. Оно показывает, что при смещении геострофического течения по меридиану его относительная (видимая) завихренность изменяется со скоростью v, за счет того, что его планетарная завихренность f не соответствует новой широте места. Чтобы поле скорости сохранилось стационарным (а этого требует стационарная форма исходных уравнений), упомянутые изменения должны компенсироваться изменением завихренности за счет изменения формы движущегося столба воды: сужения и растягивания при конвергенции, расширения и укорачивания при дивергенции.

Иными словами, при движении к полюсу планетарная (циклоническая) завихренность окружающей среды возрастает, значит, столбик воды должен сузиться и растянуться, чтобы компенсировать это изменение (сравните с увеличением скорости вращения конькобежца, когда он вытягивается по вертикали).

Сказанное будет еще более наглядным, если мы перейдем от сохранения вихря к сохранению массы полного потока и заменим (11.6.3) на -дивергенцию геострофического течения

. (11.6.4)

Итак, при движении полного потока к полюсу ( ) происходит конвергенция движущихся объемов. Нижняя и верхняя границы течения раздвигаются, и нижняя значительно заглубляется. Следовательно, при ровном дне идущее до дна геострофическое течение по меридиану невозможно. Затруднено оно и тогда, когда занимает недостающий до дна верхний, легкий слой в двуслойной жидкости. Рельеф дна в последнем случае произволен.

В дополнение к сказанному рассмотрим единичный объем воды, переносимый по меридиану. За исключением интегрирования, математические выкладки повторяются. Имеем

. (11.6.5)

Проводим замену горизонтальной дивергенции на равную ей вертикальную

; (11.6.6)

. (11.6.7)

Множитель /f – величина, безусловно, положительная в северном полушарии. Поэтому при v > 0 (движение к полюсу) , т. е. движущийся объем растягивается по вертикали. При v < 0 картина противоположна.

Найдем скорость вертикального движения границ потока

. (11.6.8)

Знак минус соответствует движению вверх. Очевидно, что по условию неразрывности горизонтальная дивергенция полного (проинтегрированного по вертикали) потока массы равна изменению массы за счет изменения уровня или толщины потока.

Для оценки скорости изменения уровня (или в более общем значении – скорости изменения толщины потока) примем условия Гольфстрима у 35^о с. ш., где слой воды толщиной около 1 км движется на север со средней скоростью 1 мс^–1, и полный поток V ≈ 10³м²с^–1. Величина планетарного вихря на этой широте f = 0,837∙10^–4, значение параметра Россби  =  df/dy = 0,189∙10^–10 м^–1с^–1. Отсюда находим скорость увеличения толщины потока 0,226∙10^–3 мс^–1. Много ли это? За сутки такой процесс способен компенсировать ветровой сгон, равный 19,5 м, что, конечно, превышает реальные ветровые изменения уровня. Поскольку растягивающиеся по вертикали объемы воды находятся в движении, интересно оценить увеличение толщины потока по пройденному вдоль меридиана расстоянию. В нашем примере вертикальное растяжение составляет 22,6 м на 100 км пути. При уменьшении средней скорости потока эта величина не уменьшается, так как расстояние будет преодолено за большее время. Зато при увеличении толщины потока, допустим, в 4 раза вертикальное раздвижение его границ превысит 90 м на 100 км пути.

Из этого ясно, что дивергенция или конвергенция, связанная с изменением географической широты (-дивергенция), – весьма ощутимые явления в океанской циркуляции. Даже если она лишь частично идет на изменение уровня, а в основном на заглубление нижней границы течения, она может успешно компенсировать ветровые изменения уровня.

Попробуем объяснить это явление. Представим для простоты однородный геострофический поток, в котором осуществляется равновесие между силой Кориолиса и поперечным наклоном уровня. Допустим, что поток идет к северу и наклон уровня остается постоянным. На каждой новой широте скорость движения, необходимая для поддержания поперечного наклона уровня, уменьшается, так как растет планетарный вихрь 2sin. Но когда скорость вдоль течения уменьшается, происходит конвергенция. Попробуем ее устранить, потребовав, чтобы скорость вдоль меридиана оставалась неизменной. Тогда под воздействием возрастающей силы Кориолиса будет возрастать поперечный наклон уровня. Обозначим это возрастание ∂²ζ/∂x∂y. Одновременно появится наклон по меридиану ∂ζ/∂y, который будет изменяться от восточной к западной границе течения по закону ∂²ζ/∂x∂y. В результате возникает замедляющееся движение вод по параллели. Это движение осуществит точно такую же по величине и знаку конвергенцию, от какой мы попытались избавиться (рис. 11.6.1).

Рис. 11.6.1. Дивергенция меридионального геострофического течения остается неизменной при изменении поперечного наклона уровня: когда уровень в точке C растет, увеличение оттока через линию bc компенсируется притоком через линию dc (Lebedev, 1989)

Таким образом, избавиться от -дивергенции путем изменения наклона уровня (или градиента давления в толще воды) не удается. Не поможет и расширение потока. Мы помним, что расход геострофического течения зависит от перепада уровня поперек течения, но не зависит при ровном дне от ширины течения. Но эта дивергенция может быть скомпенсирована дивергенциями иного происхождения: топографической, связанной с наклоном дна, прибрежной, связанной с горизонтальным трением, и дивергенцией ветрового переноса.