Глава 2. Уравнения простейших морских полей

1. Принципиальный вид уравнения

При моделировании морских течений используются уравнения баланса векторных и скалярных величин – скорости или импульса, завихренности, температуры, солености и других характеристик водной среды.

Баланс можно составить для индивидуального элементарного объема воды, переносимого течением, или для неподвижного элементарного объема пространства, через который проходит течение. Мы будем рассматривать оба подхода, но основное внимание уделим более употребительному второму.

В этом случае уравнение баланса выражает эволюцию, или динамическое равновесие в точке поля соответствующей субстанции (скорости, температуры и т. п.) и может быть названо уравнением поля, как это делается в учебном курсе Вольфганга Краусса (1973)² и некоторых монографиях.

Уравнение морского поля в общем случае включает три вида приходно-расходных статей баланса субстанции: конвергенцию адвективного переноса, конвергенцию диффузионного по структуре переноса и источники-стоки. К диффузионному по структуре переносу мы относим собственно диффузию, а также потоки, имеющие аналогичные математические выражения: фрикционный поток импульса и теплопроводность (см. главу "Начальные понятия"). Они, как и внутренние источники, участвуют в балансе движущегося объема воды, тогда как адвекция в такой объем не проникает.

В общем случае уравнение морского поля имеет следующий принципиальный вид

, (2.1.1)

где С – скорость изменения субстанции в точке поля, С(А), C(D), С(S) – составляющие скорости изменения, вызванные адвекцией, диффузиoнными по структуре потоками и источниками-стоками.

Чтобы лучше запомнить эту принципиальную схему, не побоимся очень простой географической аналогии. Представим баланс какого-то вещества в пределах географического района. Вещество ввозится и вывозится по автомобильной дороге А, по железной дороге D, а также производится и потребляется S внутри района, из чего и складывается его суммарное изменение C.

Рассмотрение конкретных уравнений морского поля начнем с простейшего случая – уравнения неразрывности.

2. Уравнение неразрывности объема несжимаемой жидкости

Здесь и далее мы будем пользоваться наиболее простым по форме элементарным объемом – кубиком, основываясь на том, что при достаточно малом размере кубиков их набором можно с любой степенью точности заполнить другую объемную фигуру.

Согласно гидродинамической традиции, под "несжимаемой жидкостью" понимается жидкость, плотность которой в неподвижном и движущемся элементарном объеме остается неизменной: . Из приведенной записи следует, что жидкость не только несжимаема и неразрывна, но также однородна по плотности: . Ее плотность не зависит ни от давления, ни от температуры, ни от движения. В таком понимании несжимаемость – одно из идеальных свойств, приписываемых жидкости.

Возьмем в несжимаемой водной среде неподвижный элементарный кубический объем пространства, через который протекает вода. В условиях несжимаемости в каждый момент времени объемное количество втекающей в кубик воды должно быть равно объемному количеству вытекающей воды. Запишем это математически

, (2.2.1)

где x, y, z – ребра кубика, индексы 1 и 2 означают скорость течения воды на входе в кубик и выходе из него.

Разделив слагаемые на объем кубика xyz и заменив разности скоростей отрицательными частными приращениям -u, -v, -w, получим формулу конвергенции скорости. Поскольку жидкость несжимаема, конвергенция равна нулю

. (2.2.2)

Чтобы получить формулу дивергенции, необходимо изменить порядок индексов в (2.2.1) и знаки приращений скорости в (2.2.2)

. (2.2.3)

Последнее выражение называется уравнением неразрывности. В векторной форме оно выглядит так

, (2.2.4)

где  – оператор Гамильтона, или вектор набла.

В тензорной записи дважды повторяющийся в одночленном выражении индекс пробегает значения 1, 2, 3 и означает суммирование по трем осям. Уравнение неразрывности имеет вид

. (2.2.5)

В движущийся объем воды адвекция проникать не может. Поэтому приращение скоростей между гранями объема приводит к сближению или расхождению этих граней и деформации объема при сохранении его величины. При этом уравнение неразрывности (2.2.3) сохраняет свою форму.

При двумерном движении жидкости широко используется выражение скорости через функцию тока , что позволяет сократить число неизвестных. Используются два равнозначных варианта определения скорости

, или . (2.2.6)

Приведенные записи обращают уравнение неразрывности в тождество.