6. Послеэкмановские модели дрейфа в глубоком море

Обсуждение и модификация экмановской модели для глубокого моря начались почти сразу после первых публикаций Экмана (в 1902 г. на шведском языке и в 1905 г. на английском). Первая критика в 1903 г. Филиппом Акербломом касалась возможных различий истинного направления трения ветра о воду и направления ветра на высоте палубных измерений. Экман отвечал, что считает направление ветра у поверхности воды и на высоте метеоизмерений одинаковым. Это соответствует современным представлениям о структуре логарифмического пограничного слоя атмосферы (высотой примерно 50 м) над сушей. Однако над движущейся водной поверхностью нижние горизонты этого слоя за счет прилипания воздуха к поверхности воды должны подстраиваться к направлению движения дрейфа. Уже в 1912 г. Ф. Экснером было опубликовано решение двойной спирали атмосфера-океан при граничном условии равенства векторов скорости и напряжений трения на границе двух сред. Поздняя модификация этого решения показана на рис. 9.6.1.

Рис. 9.6.1. Нижняя часть двойной спирали океан-атмосфера по Кошмидеру, 1938 (Б. А. Каган, 1971)

Как видно из рис. 9.6.1, углы между равноудаленными по оси z векторами неодинаковы, что является следствием возрастания значений турбулентной вязкости при удалении от границы вода-воздух.

Эволюция экмановской спирали глубокого моря шла по нескольким направлениям. По наблюдениям получалось, что угол отклонения дрейфа от ветра скорее ближе к 10, чем к 45^о (заметим, что это не влияет на направление полного переноса – он остается перпендикулярным ветру при условии, что  = 0 при z = ∞). В новых вариантах модели угол близок к 10^о.

Утвердилось представление о том, что турбулентная вязкость падает на границе океан-атмосфера до околомолекулярных значений и возрастает с удалением от границы, как показано на рис. 9.6.2.

Рис. 9.6.2. Изменение коэффициента кинематической вязкости с удалением от границы океан-атмосфера

a – модели 1950-х годов; b – модель Радикевича 1971 г.; возрастающие номера кривых соответствуют возрастающей устойчивости.

В современных моделях дрейфа коэффициент турбулентной вязкости (если он заранее задан) линейно возрастает с глубиной.

Одним из примеров нового варианта экмановской спирали может служить модель Мадсена (1977) из Массачусетского института (США), названная автором реалистической моделью.⁶

Коэффициент вязкости возрастает с удалением от граничной поверхности по закону

, (9.6.1)

где  = 0,4;  – скорость трения в воде, z₀ – параметр шероховатости.

Параметр z₀ при скорости ветра(W₁₀) от 3 до 10 м с^–1 принят равным 0,13 см, при скорости более 15 мс^–1 – 0,27 см. Среднее значение z₀ = 0,17 см.

Зависимость скорости трения в воде от ветра на высоте 10 м определяется формулой Руглса

, (9.6.2)

где _A, _W – плотность воздуха и воды.

Заметим, что корень из отношений плотности принято округлять до значения 1/28, откуда получаем приблизительную зависимость .

Глубина слоя трения

. (9.6.3)

Исходное уравнение модели Мадсена имеет вид

, (9.6.4)

где M = u+iv.

Граничные условия:

при z→0; M→0 при z→∞. (9.6.5)

Решение проводится методом операционного исчисления и имеет следующий окончательный вид для мгновенно приложенного постоянного трения

, (9.6.6)

где α = ft – безразмерное время; ζ = z/D – безразмерная координата.

Составляющие скорости на поверхности равны:

; , (9.6.7)

где v_S – скорость в направлении ветра,  = 0,4, z₀ = 0,17 см.

Угол отклонения поверхностной скорости течения от ветра находится из выражения

. (9.6.8)

Полный поток совпадает по направлению с экмановским и равен , что равносильно экмановской формуле . Стационарные условия наступают через 3 маятниковых часа после начала ветра.

В широком диапазоне изменений скорости ветра (W₁₀ изменяется от 5 до 30 мс^–1) и изменений параметра от 0,33 до 0,08 см величина безразмерной скорости и угла отклонения от ветра меняются так:

; . (9.6.9)

На рис. 9.6.3 показан годограф эпюры Мадсена в сравнении с эпюрой Экмана для безмерной скорости 10 на широте 45^о.

Рис. 9.6.3. Сравнение спиралей Мадсена  и Экмана (Madsen, 1977)

Точками отмечены глубины, равные на широте 45^о при значениям z = 0; 0,52; 2,07; 4,66; 8,38;13,00; 18,72 м

За исключением поверхностной скорости годограф универсален и пригоден для разных широт и скоростей ветра.

Другое направление в моделировании дрейфовых течений состоит в отказе от использования заранее известных коэффициентов вязкости. Эти коэффициенты определяются в ходе решения задачи из уравнения баланса турбулентной энергии и дополнительных гипотез.

Основополагающая работа этого направления принадлежит Д. Л. Лайхтману⁷. Лайхтман повторяет решение Экснера, упомянутое выше, но на новом уровне. Вместо постоянного значения коэффициента вертикальной вязкости он использует алгоритм его вычисления.

Уравнения динамики атмосферы и океана берутся в виде

, (9.6.10)

где G_i – геострофическая скорость, i = 1 – атмосфера, i = 2 – океан, G_z = 0.

Алгоритм вычисления коэффициента вязкости основан на балансе турбулентной энергии

, (9.6.11)

где θ₁ – потенциальная температура, θ₂ – плотность воды, b_i – кинетическая энергия турбулентных пульсаций, l_i – характерный размер турбулентных пульсаций, c и α_b – универсальные постоянные.

Граничные условия при z_i = z₀

, (9.6.12)

где  – скорость трения.

Вертикальная ось z_i направлена в воздухе вверх, а в воде – вниз.

Шероховатость граничной поверхности определяется формулой

, (9.6.13)

где m – экспериментальная величина со средним значением ≈ 0,05.

Решение было выполнено численно. Для широкого диапазона условий стратификации атмосферы получены значения функций η^/, δ^/, позволяющих по приведенным в статье формулам (см. сноску) находить:  – угол разворота ветра (от геострофического к приземному W_10м); _S – угол разворота поверхностного течения (относительно приземного ветра W_10м); ветровой коэффициент – отношение между скоростью дрейфа и геострофическим ветром (U₀/G); отношение между скоростью трения в воздухе и геострофическим ветром  . Результаты расчетов перечисленных величин при нейтральной стратификации показаны на рис. 9.6.4. Обращают на себя внимание небольшие значения углов разворота α, _S.

Рис. 9.6.4. Характеристики движений атмосферы и моря при нейтральной стратификации (модель Лайхтмана, 1966).

α_S – отклонение поверхностного течения от наблюдаемого ветра; α – отклонение геострофического ветра от наблюдаемого; U₀/G – отношение скорости поверхностного дрейфа к скорости геострофического ветра;  .

Упомянутые функции η^/, δ^/, выражающие величину напряжения трения по осям x, y, позволяют находить скорости на различных горизонтах по формулам

; . (9.6.14)

Связь между значениями геострофического ветра, ветра на 10 м, поверхностного течения и параметра шероховатости для 50^о широты при нейтральной стратификации атмосферы и океана (таблица).

Таблица

Среди послеэкмановских моделей дрейфа имеется и модель, основанная на обратимости поверхностной и придонной экмановской спирали (модель Зилитинкевича, 1976). О ней пойдет речь в параграфе 10.9 после вывода уравнения экмановской придонной спирали.