3. Экмановская модель дрейфовых течений в глубоком море

Исходные уравнения движения и граничные условия на поверхности моря и на большой глубине

; (9.3.1)

; (9.3.2)

; (9.3.3);

. (9.3.4)

Здесь нижние индексы означают частные производные по вертикальной оси, верхние – направления горизонтальных осей.

Умножим (9.3.2) на , сложим с (9.3.1) и используем подстановку i ²= -1

. (9.3.5)

Введем обозначения: , и заметим, что

. (9.3.6)

Общее решение (9.3.6)

. (9.3.7)

Из граничного условия при z = ∞ находим, что C₁ = 0.

Ищем C₂, дифференцируя (9.3.7) по z

. (9.3.8)

Из (9.3.3) следует, что при z = 0 u_z = 0, . Отсюда

. (9.3.9)

Подставляем значения C₁, C₂ в (9.3.7). Используем формулу Эйлера и умножаем ее на . Получаем формулу экмановской спирали

. (9.3.10)

Все свойства спирали видны уже из этой формулы. Дальнейшие преобразования (9.3.10), показанные во многих учебниках, сделаны Экманом для более удобной и наглядной записи результатов.

Определим свойства спирали из (9.3.10). Подставляя z = 0, найдем скорость на поверхности

. (9.3.11)

Разделяя действительную и мнимую части и раскрыв значение , имеем

. (9.3.12)

Так как на поверхности моря составляющие скорости по осям x, y равны, угол между течением и ветром (ось y) составляет 45^o.

Обозначив через V(0) модуль вектора скорости на поверхности, найдем

; . (9.3.13)

Введем V(0) в формулу (9.3.10) и используем переобозначение

. (9.3.14)

Приняв z = D, получим

; . (9.3.15)

Таким образом, на глубине D течение меняет направление на 180^o, а его величина уменьшается в раз, т. е. составляет 1/23 часть, или 4,3% поверхностного.

Глубина D называется глубиной трения

. (9.3.16)

В современной океанологической практике множитель  не учитывается и глубина трения оценивается по порядку величин.

Путем тригонометрических преобразований с использованием выражений ; и с учетом того, что можно заменить на и , формулы скорости можно привести к виду

; (9.3.17)

или

; . (9.3.18)

Формулы (9.3.17) исходят из тригонометрического отсчета углов (как было принято Экманом), формулы (9.3.18) основаны на отсчете углов по компасу. Результаты вычислений по ним одинаковы – логарифмическая спираль.

Для практического использования модели можно воспользоваться соотношениями, позволяющими по скорости ветра найти трение и затем скорость воды

где W₁₀ – скорость ветра на высоте 10 м, С₁₀ – коэффициент сопротивления поверхности, принимаемый в монографии Чанади (1982) равным 1,6∙10^–3 (W 7мс^–1) и 2,5∙10^–3мс^–1 (W 10мс^–1). Значения для разной стратификации и горизонтов наблюдений приводятся в «Океанографических таблицах» 1975 г.

Заметим, что значение коэффициента 0,002 приводится еще в монографии Н. Н. Зубова «Динамическая океанология», 1947 г. По «Океанографическим таблицам» это соответствует скорости ветра 7–8 мс^–1 и нейтральной стратификации воздуха.

Построение спирали принято проводить через 0,1D, при этом угол между соседними векторами равен 18^o. Модуль вектора скорости убывает с глубиной по экспоненте. Зависимость угла разворота от величины вектора скорости логарифмическая (рис. 9.3.1).

Рис.9.3.1 Структура дрейфового течения по модели Экмана (1902)

Экмановская спираль является структурой равновесия силы Кориолиса и двух напряжений трения, действующих на частицу жидкости. Затухание спирали с глубиной вызвано силой Кориолиса и может служить одним из примеров локализации движения на вращающейся сфере. Сила трения в воде, пропорциональная коэффициенту вязкости K, действует как механизм передачи скорости в глубину. Это видно из (9.3.16). Подставив в (9.3.16) молекулярное значение коэффициента (1,5∙10^–6м²с^–1), мы получим глубину трения на полюсе 0,45 м, на широте 45^o – 0,54 м. У экватора эта глубина уходит в бесконечность.

Характерное значение глубины трения в океане – несколько десятков метров, часто принимается величина 30 м, что соответствует коэффициенту турбулентной вязкости, на три порядка большему (К ≈ 5∙10^–3 м²с^–1). Из этих примеров видно, что чем меньше коэффициент вязкости, тем больше разворот спирали на единицу глубины. В наших примерах при молекулярной вязкости разворот при заглублении на 0,5 м составляет 180^o , а при турбулентной – 6^о. В слое скачка плотности коэффициент вязкости приближается к околомолекулярному значению. Это останавливает проникновение ветрового течения в глубину и, как показывают подводные киносъемки красителей, может изменять направление скорости на 180^о. Очень резкие скачки плотности наблюдаются в устьевых зонах.

На рис. 9.3.2 равновесие сил в экмановской спирали поясняется геометрическим чертежом.

Рис. 9.3.2 Диаграмма сил в дрейфовой спирали при уменьшении вязкости с глубиной. R – результирующая двух сил: Кориолиса (F) и напряжения трения (),  – вектор скорости.

К концам векторов скорости на рисунке в условном масштабе приложены массовая сила Кориолиса, пропорциональная скорости и перпендикулярная ее вектору, и два поверхностных напряжения трения, направленных на концы соседних векторов скорости и пропорциональных расстоянию до них, а также коэффициенту вязкости. Здесь уместно вспомнить ньютонов закон трения в жидкости: «сопротивление, происходящее от недостатка скользкости жидкости при прочих одинаковых условиях, предполагается пропорциональным скорости, с которой частицы жидкости разъединяются друг от друга» (перевод А. Н. Крылова).

Наблюдать экмановскую спираль удавалось редко. Дрейф может иметь другую форму, чаще всего ленгмюровских вихрей. Наконец, морская среда может быть охвачена независимым от ветра движением. Во втором случае происходит геометрическое сложение векторов спирали и вектора независимого течения. Возникает новая спираль, которая может менять направление разворота векторов скорости. На рис. 9.3.3 показано, что смена разворота зависит от отношения градиентной и дрейфовой скорости (V_g/V_d) и угла между ними ().

Рис. 9.3.3. Условия смены разворота экмановской спирали с правого на левый в северном полушарии (V. Lebedev, 1989)