Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Географический факультет
В. Л. Лебедев
Введение в теорию морских течений
Учебное пособие
Издательство Московского университета
2003
Памяти дорогого Олега Ивановича Мамаева, талантливого педагога, ученого, влюбленного в море, и доброго друга.
Пособие дополняет известный курс «Морские течения» О. И. Мамаева (1986) рассмотрением тем, которые входят в программу обучения. Это аналитические и численные модели циркуляции Стоммела, Манка, Буркова, Саркисяна, волны Россби, вихри Ленгмюра, современные варианты моделей экмановского ветрового дрейфа.
Когда рассматриваются вопросы, входящие в названный курс, это делается под дополнительным углом зрения, что, по мнению автора, может способствовать более полному их пониманию.
Автор благодарит за помощь в подготовке рукописи профессора С. А. Добролюбова и лаборанта А. В. Жукова.
Раздел 1. Система уравнений морских полей
Поле – это любая физическая величина, которая в разных точках пространства принимает различные значения. Скажем, температура – это поле… Другим примером поля может служить поле скоростей текущей жидкости.
Ричард Фейнман
Глава 1. Начальные понятия
Построение уравнений морских полей начнем с определения потоков векторных и скалярных величин. Напомним также о связанных с ними физических законах.
Адвективные потоки. Адвективным потоком Q(A) называется перенос течением какой-либо субстанции (например, объемов воды, ее массы, температуры и др.) через перпендикулярную потоку площадку s
, (1.1)
где u – скорость течения по оси х, ρ – плотность воды, Т – температура.
Запись (1.1) выражает объемный поток (расход) воды, поток массы, поток температуры по оси х. Черточки над символами означают осреднение в пределах площадки s.
Удельный адвективный поток q для краткости называют также потоком. Запишем его по оси х
(1.2)
и определим как расход через перпендикулярное сечение единичной площади, деленный на эту площадь. Пусть объемный расход выражен в м3c–1. При отнесении его к м2 получаем, что удельный объемный поток воды равен ее скорости.
Диффузионные по структуре потоки. Название потоков связано с законом диффузии. Их математическая формулировка для разных субстанций (соль, тепло, импульс и др.) одинакова, с поправкой на скалярный или векторный характер поля, и в гидродинамической литературе используются выражения диффузия температуры (Rayleigh, 1916) и диффузия импульса (Зырянов, 1985).1
Раньше всего, хотя и в словесной форме, подобный поток был определен законом трения в жидкости (Ньютон, 1687), предполагающим трение "пропорциональным скорости, с которой частицы жидкости разъединяются друг от друга". В простейшем случае, когда скорость имеет лишь одну составляющую, допустим по оси х, вызванный трением поток импульса будет иметь составляющие по осям координат
(1.3)
где индекс m относится к потокам импульса (количества движения) u по осям координат, - плотность, (ню) – кинематический коэффициент вязкости, имеющий размерность L2T–1, ij – составляющая тензора напряжений трения.
Знаки минус перед производной в формулах (1.3) определяют направление потока импульса от большей скорости к меньшей. Кроме того, знак перед согласует направление переносимой векторной величины с напряжением трения (см. ниже «Граничные условия»).
Следующим по времени был определен поток тепла в виде закона теплопроводности (Жан Фурье, 1822)
, (1.4)
где q(D)Tx – поток тепла, - коэффициент молекулярной температуропроводности (имеющий ту же размерность, что и ), с – теплоемкость, Т – температура.
Согласно закону молекулярной диффузии, сформулированному в 1855 г. швейцарским физиком Адольфом Фиком, диффузный поток вещества имеет вид
, (1.5)
где k – коэффициент молекулярной диффузии, имеющий ту же размерность, что и , S – концентрация диффундирующего вещества S.
Смысл каждой из записанных формул фундаментально прост: поток субстанции прямо пропорционален нормированной на расстояние разности значений этой субстанции (ее градиенту) и направлен от большего значения к меньшему. Приведенные законы подтверждаются опытами на молекулярном уровне и выводятся с помощью математических моделей равновероятного движения молекул. Они открыты задолго до появления понятия турбулентности. Их использование для турбулентной среды с многократным увеличением коэффициентов было предложено Жозефом Буссинеском в 1877 г.