13)Теорема разделения. Матрица регулятора и уравнение Риккати.
Пусть объект управления описывается уравнением
(1)
(2)
где
-
n-мерный вектор внешних
возмущений, являющийся гауссовским
случайным процессом типа «белый шум»
с нулевым математическим ожиданием
(3)
и ковариационной матрицей
,
(4)
где
-
положительно-определенная матрица
размером (
),
характеризующая интенсивность «белого
шума» в момент времени
.
Пусть
начальное состояние также является
гауссовским случайным вектором, не
зависящим от внешних возмущений и
имеющим при
ковариационную матрицу
(5)
Рассмотрим критерий качества
(6)
где
и
- положительно определенные матрицы
размером (
).
Требуется
найти управление
как функцию текущей и прошлой информации
о
,
при которой функционал (6) принимает
наименьшее значение.
Так как текущая информация носит случайный характер, то и формируемое на ее основе управление также будет случайным (стохастическим) управлением. Интересным является тот факт, что наличие «белого шума» в уравнении (1) не изменяет оптимального управления, которое было получено в предыдущей лекции при отсутствии внешних возмущений. Изменяется лишь значение минимума критерия. Этот результат формулируется в виде следующего утверждения 1:
Оптимальное
стохастическое управление для объекта
(1), при котором функционал (6) принимает
наименьшее значение, имеет вид
(7)
где
-
матрица регулятора
(8)
-
решение матричного уравнения Риккати
(9)
при краевом условии
(10)
Значение функционала (6) при управлении (7) определяется выражением
(11)
Здесь
tr А означает след матрицы
квадратной матрицы А. По определению
,
где
- диагональные элементы матрицы А.
В
стационарном случае, когда матрицы в
уравнении (1) и в функционале (6) не зависят
от времени, а интенсивность стационарного
«белого шума» характеризуется матрицей
чисел
,
наименьшее значение функционала
оптимизации имеет вид
(12)
Во
многих случаях полагают, что время
функционирования системы велико, т.е.
.
При этом возникает парадоксальная на
первый взгляд ситуация, когда
(13)
Причиной этого является неограниченная энергия «белого шума», поэтому вместо функционала (12) принимают функционал
(14)
Синтез стохастических систем при неполной информации о векторе состояния. Теорема разделения
В случае, когда непосредственному измерению доступны не все переменные состояния объекта управления, а сами измерения выполняются с ошибками, система уравнений (1)-(5) дополняется еще одним уравнением (уравнением наблюдения):
(16)
здесь
вектор
наблюдения,
-
матрица наблюдения, определяемая
структурой измерительной системы,
мерный
вектор ошибок (шумов) измерения, также
полагающийся случайным процессом типа
«белый шум» нулевым математическим
ожиданием
(17)
и ковариационной матрицей
,
(18)
где
-
заданная положительно-определенная
матрица размером (
).
В дальнейшем будем полагать, что внешние
возмущения и помехи измерения не
коррелированны.
Кроме того, введем известные начальные условия:
,
(19)
Требуется
найти управление u(t),
зависящее от измеряемого вектора
,
такое, чтобы критерий
(20)
где и - заданные положительно определенные матрицы размером ( ), принимал наименьшее значение.
Для объекта управления типа «баллистическая ракета» не все компоненты вектора состояния могут быть непосредственно измерены. В частности, невозможно измерить координаты положения в принятой системе координат, их можно только вычислить используя навигационное уравнение. Об этом вам рассказывалось на 23 кафедре при изучении дисциплины «Теоретические основы построения навигационно-измерительных комплексов». В этом случае решение задачи оптимального управления при неполной информации о векторе состояния основывается на применении теоремы разделения.
Теорема разделения:
Оптимальное в смысле функционала (20) стохастическое управление объектом (1), (16) имеет вид
(21)
где
-
матрица коэффициентов усиления,
определяемая соотношениями (8), (9), (10),
которые получены для оптимального в
смысле функционала (6) стохастического
управления при полностью измеряемом
векторе состояния объекта (1),
вектор
-
это оценка n-мерного
вектора переменных состояния, получаемая
оптимальным наблюдателем.