4. Определение реакций в кинематических парах плоского рычажного механизма методом планов сил.

 5.3. Метод планов сил для определения реакций в  кинематических парах Силовой расчёт группы Ассура  Рассмотрим группу Ассура второго класса второго вида, состоящую из шатуна 2 и ползуна 3 (рис. 5.4,а) и входящую в состав, например, кривошипно-ползунного механизма, одного из самых простых четырёхзвенных механизмов.  Группа изображается в масштабе  . На ползун 3 действует внешняя сила   и сила инерции ползуна  , на шатун действуют сила инерции  , приложенная в точке S₂, и момент сил инерции  . Крайними кинематическими парами группы Ассура являются вращательная пара в точке А и поступательная пара ползуна 3 со стойкой. Отбрасывая кривошип 1 и стойку 0, освобождаем группу Ассура от связей и вместо них прикладываем неизвестные реакции   в точке А и   в поступательной паре, проведя её линию действия через точку В перпендикулярно направляющей. Отброшенные звенья показаны на схеме штриховыми линиями.  Записываем уравнение равновесия всей группы в целом в векторной форме: . В правой части этого уравнения стоит нуль, указывающий на равновесие. В этом уравнении первый вектор известен по величине и по направлению, второй известен по направлению, третий известен по величине и по направлению, четвёртый неизвестен совсем. Уравнение в таком виде не может быть решено, так как в нём три неизвестных параметра, а необходимо только два. Для сокращения количества неизвестных разложим вектор   на составляющие, одну из которых,  , направим перпендикулярно шатуну 2 и назовём тангенциальной составляющей. Вторую,  , направим вдоль шатуна и назовём нормальной составляющей. Данная операция соответствует равенству  . Составляющая   определяется из уравнения равновесия шатуна 2 в форме моментов сил относительно точки В: , из которого имеем  . Размеры плеч в этих выражениях измеряются в миллиметрах ( ) на схеме механизма и с помощью масштаба переводятся в натуральную величину. Причём плечо   есть кратчайшее расстояние линии действия силы   от точки B.  Если результат расчёта по приведённому выражению оказывается отрицательным, то в дальнейшем направление   следует принять обратным по отношению к принятому на схеме. Составляющая   и реакция   определяются путём построения векторного многоугольника сил (рис. 5.4,б). Для определения реакции во вращательной паре В между шатуном и ползуном необходимо построить на основе уравнения равновесия план сил шатуна 2 отдельно от ползуна 3 (или ползуна 3 отдельно от шатуна 2). Например, уравнение равновесия шатуна 2 запишется так: . В этом уравнении первые два вектора известны полностью, третий вектор определится построением треугольника сил.

5. Кинетостатика начального звена механизма.

При силовом анализе принимают, что на-

чальное звено движется равномерно (рис.2.5).

Для начального звена можно составить три

уравнения равновесия. Неизвестных величин,

подлежащих определению, две – величина и ли-

ния действия реакции R01. Третье уравнение рав-

новесия дает возможность определить уравнове-

шивающую силу FУ или уравновешивающий мо-

мент МУ, который нужно приложить к звену для

уравновешивания всех сил, действующих на звенья механизма при вращении

начального звена.

Для определения уравновешивающей силы составляем уравнение мо-

ментов всех сил относительно точки О:

M (R21 )+M (FУ )+M (Ф1 ) = 0

реакцию в шарнире О определяют из условия равновесия звена 1 по вектор-

ному уравнению, которое решается графически построением плана сил (см.

рис.2.5):

R12 +FУ+Ф1 + R03 = 0

.При ведущем начальном звене уравновешивающий момент – момент

движущих сил, при ведомом – момент сил сопротивления.

В последнем случае по величине уравновешивающего момента можно

оценить мощность двигателя, необходимого для привода механизма в дейст-

вие (без учета сил трения в кинематических парах). рис.2.5

Уравновешивающая сила и момент уравновешивающей силы.

Теорема о «жёстком» рычаге Жуковского

Теорема используется для определения уравновешивающей силы   или уравновешивающего момента   без предварительного определения реакций в кинематических парах механизма и является графической интерпретацией принципа возможных перемещений точек приложения сил. Для реального механизма эти возможные перемещения являются реальными.

Исходя из принципа сохранения энергии сумма работ всех внешних сил, приложенных к звеньям механизма, равна нулю. Это условие можно записать в виде

,                             (7)

где P_i – все внешние силы, в том числе силы полезного и вредного сопротивления, силы инерции и веса, действующие на звенья механизма (силы реакции здесь не учитываются); dS_i – элементарные перемещения точек приложения этих сил;   – угол приложения внешних сил, или угол давления (угол между вектором силы и вектором скорости).

Разделим уравнение (7) на бесконечно малый интервал времени dt и получим (при условии, что  )

,                                        (8)

то есть сумму мгновенных мощностей, равную нулю.

Для определения величины мгновенных мощностей можно выполнить решение следующей графической интерпретации. Дано звено ВС с известной скоростью   точки D и приложенной к этой точке силой (рис. 4.13). Построим план скоростей, повёрнутый на 90⁰, где  ,  . Вычислим момент силы   относительно полюса   плана скоростей:

.

С учётом этого уравнение (8) можно записать как  .

Так как масштаб  , то можно сформулировать теорему Жуковского:

,                                               (9)

или

Теорема 1. Алгебраическая сумма моментов всех внешних сил, перенесенных с механизма в соответствующие точки повёрнутого на 90⁰ плана скоростей, относительно полюса равна нулю.

                 

Рис.4.13. План звена с повёрнутым на 90⁰ планом скоростей

 

Последовательность определения   в механизме по теореме Жуковского:

1. Построить повёрнутый на 90⁰ (в любую сторону) план скоростей механизма.

2. В соответствующие точки плана скоростей нанести все ранее определённые внешние силы (включая силы инерции и силы веса), действующие на механизм, в том числе и уравновешивающую силу  .

3. Составить уравнение вида (9). Плечи моментов сил брать из повёрнутого плана скоростей.

4. Из составленного уравнения определить  .

Теорема 2. Скорость любой точки на механизме равна по величине и направлению скорости соответствующей точке на рычаге Жуковского.

Следствие: рычагом Жуковского можно пользоваться, как планом скоростей.

Теорема 3. Если силу механизма перенести параллельно самой себе на рычаг Жуковского, то мощность этой силы на механизме будет равна мощности той же силы на рычаге Жуковского.

Следствие: Мощность любой силы равна моменту этой силы, относительно полюса и угловой скорости рычага (произведению).

 

Пример 2.

Заданы внешние силы, действующие на звенья механизма Р₂ и Р₃. Найдём уравновешивающую силу Р_ур, для чего построим план механизма в масштабе длин (рис. 4.14) и повёрнутый на 90⁰ план скоростей (рис. 4.15).

            Рис. 4.14. План механизма                          Рис. 4.15. Повёрнутый на 90⁰  план скоростей

 

Приложим силы в соответствующие точки k и b₃ повёрнутого плана скоростей, обозначаем плечи сил. Составляем уравнение моментов сил относительно полюса плана скоростей:

.

Отсюда 

.

Если сила   получается с отрицательным знаком, то её предварительно выбранное направление следует поменять на противоположное.

 Движение механизмов под действием сил