9. Основные теоремы о пределах. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно-малой функцией.
1. Функция не может иметь больше одного предела.
2. Если f(x) и g(x) имеют пределы в точке x0, то: предел суммы равен сумме пределов, предел произведения функций равен произведению их пределов, предел частного функций равен частному их пределов (естественно знаменатель не равен нулю).
3. Постоянный множитель можно вынести за знак предела.
4. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела.
Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией.
Если функция f(x) имеет предел равный a, то её можно представить в виде f(x) = a + α(x), где α(x) – бесконечно малая функция.
lim f(x) = a, x → x0
f(x) = a + α(x)
Если функцию f(x) в окрестности точки a можно представить как f(x) = a + α(x), где α(x) → 0, то предел функции равен a.
10. Вычисление пределов функций. Рациональная дробь на бесконечности. Первый и второй замечательный предел (привести основную идею доказательства).
Иногда невозможно сразу найти предел функции, потому что возникают неразрешаемые выражения. Преобразования, позволяющие ликвидировать эти неопределенности, называются раскрытием неопределенностей.
Для раскрытия неопределенности рациональной дроби на бесконечность поступают так: выносят из числителя и из знаменателя максимальную степень.
Первый замечательный предел: lim (sinx / x) = 1, x → 0
Доказательство (подробно на странице 120):
Так как функция sinx непрерывна, то sinx → sin0 = 0, при x → 0. Поэтому всё выражение представляет собой неопределенность вида 0/0 (ноль делить на ноль). Из определения тригонометрических функций мы имеем: 0 < sinx < x < tgx (при 0 < x < pi/2).
Делим на sinx > 0, получаем: 1 < x/sinx < 1/cosx или 1 > sinx/x > cosx.
Предел единицы равен единице, и предел косинуса равен единице. Соответственно, функция по середине будет иметь точно такой же предел, то есть единицу.
Второй замечательный предел: lim (1 + 1/x)x = e, x → inf
Доказательство (подробно на странице 121):
Пусть xn – произвольная переменная, стремящаяся к бесконечности. И пусть [xn]=kn – целая часть числа xn. Тогда:
kn <= xn <= kn+1 <= xn+1 < kn+2
и
(1+1/(kn+1))kn+1 < (1+1/xn)xn+1 < (1+1/kn)kn+2 < e(1+1/kn)2
При xn → inf [xn] = kn → inf, откуда первый и последний члены цепочки неравенств стремятся к e. Поэтому всё выражение стремится к e.