20.Решение методом разделения переменных первой смешанной задачи для однор. Ур. Теплопроводности.

Рассм. 1-ую смешанную задачу для однородного ур.

теплопроводности с однородными граничными условиями

(20.1)

(20.2)

, , (20.3)

Условия согласования в данном случае имеют вид ϕ(0)= ϕ(t)=0. Для решения задачи (20.1)- (20.3) применим метод разделения переменных. Будем искать решения ур.(20.1) в виде

(20.4)

Подставим выражение (20.4) в ур. (20.1) и разделив получим соотношения , где λ – постоянное разделение. В результате получим 2 обыкновенных ДУ.

(20.5)

(20.6)

Потребуем чтобы решения(20.4) удовлетв. граничным условиям (20.3).Подставив(20.4) в (20.3) получим

, (20.7) Таким обр. нами получена задача Штурма-Лиувиля (20.6), (20.7) совпад. с задачей Штурма-Лиувиля. Вычислим теперь T_n(t) положив в ДУ (20.5) λ=λ_n, в результате получим ДУ

Общее решение данного ДУ имеет вид , ,где А_n есть произв. постоянная. В результате мы получим бесконечную последовательность частных решений вида (20.4) ур. (20.1) удовлетв. граничным условиям (20.3)

(20.8)

Из этих решений составим общее решение в виде ряда

(20.9)

Вычислим А_n удовлетворяя начальному условию(20.2). Имеем

получаем, что , (20.10). Таким образом мы получим общее решение первой смешанной задачи (20.1)- (20.3) для ур. теплопроводности ряда (20.9) коэф. которого находятся по формулам(20.10) .

13. Постановка смешанных задач для уравнения колебаний струны

На плоскости с координатами выделим область , И на данной области рассмотрим уравнение колебаний струны: (1)

Для данного уравнения рассмотрим следующие типы задач:

Первая смешанная задача имеет вид:

в области , (2)

, , , (3)

, , . (4)

Заметим, что при постановке задачи (2)-(4) на заданные функции должны быть наложены следующие ограничения: . (5), . (6)

Вторая смешанная краевая задача.

в области , (7)

, , (8)

, . (9)

В данной постановке задач на заданные функции должны быть наложены следующие ограничения:

, , , .

Третья смешанная задача.

в области , (10)

, , (11)

, . (12)

При постановке краевой задачи (10)-(12) на входящие в них функции должны быть наложены такие ограничения:

, ,

, .

Смешанная задача для обобщенного уравнения колебаний струны.

в , (13)

, , (14)

, . (15)

14. Задача Штурма-Лиувилля

Рассмотр. краевую задачу для обыкновенных ДУ 2-ого порядка:

, , (1)

, , (2)

где - искомая функция, -числовой параметр, , , , .

Очевидно, что задача (1), (2) всегда имеет тривиальное (нулевое) решение, то есть .

Задача Штурма-Лиувилля состоит в том, чnобы найти такие числа , для которых существуют нетривиальные решения краевой задачи (1), (2). Числа называются собственными значениями, а соответствующие нетривиальные функции наз. собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля.

Таким образом, задача (1), (2) сводится к отысканию всех собственных значений и всех собственных функций.

Введем вспомогательный линейный оператор , называемый дифференциальным оператором Штурма-Лиувилля. Совокупность всех собственных значений называется спектром дифференциального оператора с граничными условиями (2). Задача (3.30), (3.31) содержит задачи трех родов:

первого рода: , , , ;второго рода: , , , ;

третьего рода: , , .

Теорема 1. Для задачи (1), (2) существует бесконечная последовательность собственных значений и соответствующая последовательность собственных функций , такая, что

, , (4)

, .

Теорема 2. Каждому собственному значению соответствует только одна собственная функция с точностью до постоянного множителя.

Теорема 3. Для собственных функций ,соответствующих различным собственным значениям задачи (1), (2), выполнены условия ортогональности с весом на отрезке :

, где - символ Кронекера, - норма ф-ции .

Теорема 4. Собственные значения задачи (1), (2) вещественны.

Теорема 5. Все собственные значения задачи (1), (2) неотрицательны, то есть .

Теорема 6. Собственное значение может иметь только задачу 2-ого рода .