12.Задача Коши для уравнения колебаний струны

Поставим зад. Коши для одн. уравн. поперечных колебаний струны: на обл. , (1)

, , (2)

, , (3) где ; - натяжение струны; - лин. плотность струны; ; ; клас. реш. зад. , –временная переменная, – пространственная переменная.

Зад. (1) – (3) исп. для матем. моделирования процесса малых колебаний бесконечной струны, натянутой вдоль оси . Струна считается идеально тонкой, её график в момент времени опис. Уравн. , то есть - откл. точки струны с координатой от оси . Нач. усл. (2) задает график струны в нач. момент времени , а ф-ия из усл. (3) задает нач. скорость струны в точке с координатой

Для отыскания реш. зад. (1) – (3) применим метод характеристик. Он сост. в привед. исх. ДУ (1) к канон. виду и нахождении общ. реш.. Для гиперболического урав. (1) на основании характеристических уравн. (3.1), находим 2 семейства характеристик на плоскости : , .

Производя замену переменных , ,

приведем ДУ (1) к канон. виду . Из общего реш. (5.4) имеем .Поэтому общее реш. одн. Уравн. колебаний струны (12.1) имеет вид (5.6) . (4) Опред. Неизв. ф-ции . Подставив (12.4) в усл. (2), получаем соотношение . (5)

Подставляя (12.4) в условие (12.3), получаем

, (6)

Интегрируя равенство (12.6) по отрезку , получ. соотн.:

(7)

Далее разрешая систему алгебр. уравн. (5), (7), имеем:

,

.

После подстановки найденных функций в (4) получим формулу Даламбера для решения исходной задачи Коши:

. (8)

Отметим, что найденное решение является классическим.

В случае неодн. уравн. колеб. струны реш. задачи Коши:

,

определяется формулой

где .

Из алгебр. построен. реш. зад. Коши (1)-( 3) имеем, что любое клас. реш. данной зад. представимо ф-лой Даламбера (8). Отсюда вытекает существование и единственность решения зад. Коши (1)-( 3) в пространстве Также имеет место след. утв.:

Утверждение 2.1. Решение задачи Коши (1)–(3) в пр-ве непрерывно зависит от начальных функций , .

19. Постановка смешанных задач для уравнения теплопроводности.

На плоскости R² c координатами X,t выделим область D= (0<x<l)X(0<t<+∞). На этой области рассм. ур. теплопроводности.

(19.1)Где u=u(x,t) есть искомая функция. Ур.(19.1) наз. также одномерным ур. теплопроводности. Первая смешанная задача для ур. теплопроводности имеет вид

(19.2)

(19.3)

, (19.4)

При данных функциях f,ϕ,µ₁,µ₂ требуется найти функцию найти функцию u которая удовлетворяет ДУ (19.2) начальному усл. (19.3) и граничными усл.(19.4)

Условие согласования в данном случае имеет вид

,

Задача (19.2)-(19.4) описывает процесс распрост. тепла в тонком стержне длины l, располож. вдоль отрезка (0<x<l). Функция u(x,t) задает температуру стержня в сечении x в момент времени t. Граничные условия (19.4) означают, что в торцах стержня x=0, x=l поддерживается заданная температура µ₁(t),µ₂(t) соответственно. Функция ϕ(x) в начальном условии (19.3) задает температуру стержня в каждом сечении X в начальный момент времени t=0. Вторая смешанная задача для ур. теплопроводности имеет вид

(19.5)

(19.6)

(19.7)

,

Условия (19.7)наз. граничными условиями 2-го рода. Условия соглас. в данном случае имеет вид:

Граничные условия(19.7) означают, что в торцах стержня x=0, x=l задан тепловой поток. Третья смешанная задача для ур. теплопроводности имеет вид

(19.8)

(19.9)

, (19.10)

Условие согласования имеет вид

,

Граничные условия(19.10) моделируют теплообмен стержня через торцы x=0, x=l с окружающей средой.