22. Свойства гармонических функций

Свойство 1. Пусть u(x, y, z) - гармоническая функция в области D, тогда функция u любое число непрерывно дифференцируема по координатам x, y, z в области D, то есть .

Доказательство. Не нарушая общности, можно считать, что . Воспользуемся интегральной формулой Грина и получим

(1)

где - внутренняя точка области D. докажем дифференцируемость ф-ции (1) в окрестности любой точки . Пусть - замкнутая шаровая область радиуса , описанная вокруг точки , . В подынтегральном выражении (1) ф-ция любое число раз непрерывно дифференцируема по координатам точки , т к , а расстояние . => всевозможные производные явл непрерывными ф-циями на мн-ве точек и . На основании соотвествующей теоремы из мат анализа выражение (1) дифференцируемо и имеет место формула

. Из произвольности следует, что .

Св-во 2. Теорема о нормальной производной. Пусть любя ф-ция и явл гармонической в обл D, тогда (2)

Доказательство. Воспользуемся первой формулой Грина , где произвольная функция . Положим =1, тогда = 0; из условия теоремы. В результате формула Грина пре­образуется к виду (2). ^ш

Рассмотрим произвольную точку . Опишем вокруг точки М сферу радиуса а, такую, что замкнутый шар сферы цели­ком содержится внутри области D. Выведем формулу, выражающую значение гармонической функции в центре сферы, то есть в точке М, через значения на сфере

Свойство 4.3. Теорема о среднем. Пусть - гармоническая функция в области D, тогда для и сферы. , , име­ет место формула

(3)

Где = - площадь сферы.

Доказательство. Рассмотрим интегральную формулу Грина для сферы , в качестве точки М центр сферы:

Т к , то = а, = .

В результате

Учитывая соотношение (2) для поверхности Г= , получаем требуемую формулу (3).

Свойство 4. Принцин максимума и минимума. Пусть и удовлетворяет в области D уравнению Лапласа . Тогда функция u достигает своего максимального и мини­мального значений на границе Г, то есть

Доказательство. От противного. Пусть максимум функции и дос­тигается в некоторой внутренней точке , то есть

(4)

О пишем вокруг точки сферу радиуса а, которая вместе со своим шаром принадлежит области D (см. рис.1)

Для сферы имеет место формула (3) из теоремы о среднем:

или (5)

где функция . в силу неравенства (4).

Покажем, что =0 для . От противного, пусть сущест­вует точка такая, что w(P_o) > 0. Функция w(P) непрерывная, поэтому существует окрестность U₀ точки Р₀, то есть , для которой w(P_o) > 0 при . Поэтому

> 0

что противоречит условию (5). Таким образом, при . Так как радиус а произвольный, то будем его увеличивать до касания сферы с границей в точке Р*. В результате и(Р*) = и(м₀)_, то есть максимум достигается в точке Р* на границе Г. Для минимума доказательство проводится аналогично.

Следствие 1. Пусть функции и являются гар­моническими в D. Если для , то для .

Следствие 2. Пусть функции и являются гармоническими в D. Если , то

Следствие 3. Пусть функции и являются гар­моническими в D. Если , то .

Следствие 4. Пусть функция и является гармони­ческой в облает D. Если , для , то для .