16. Решение методом разделения переменных первой смешанной задачи для однор. Уравнения колебаний струны

Рассм. первую смешанную задачу: в области , (1) , , (2) , , . (3)

Выберем пространство ф-ций, учитывая условия соглас. (1)- (3) применим метод разделения переменных, отыскивая решения уравнения (1) в виде: . (4)

После подстановки в уравнение (1) получим

,где -постоянная разделения.

В результ. получ. 2 обыкн. ДУ: ,(5) .(6)

Потребуем, чтобы реш-я (4) удовлетвор. граничным условиям (3). Подставив (4) в (3), получаем, что: (7)

В результ. получ. задачу Штурма-Лиувилля (6)-(7). Собственные знач. поэтому общее решение ДУ (6) имеет вид ,где - произв. постоянные.

Удовлетворим первому граничному усл(7).Имеем , поэтому . Т. о., получ., что . Т. к. собств. ф-ция опр-ся с точностью до пост. множителя,то положим .

. Удовлетворим второму граничному условию (7), тогда получим: . . Отсюда определим собств. знач. и собств. функции в виде:

, , (8) . (9)

Вычислим ф-цию , положив в ДУ (5) , имеем: . Общее решение последнего ДУ имеет вид:

,

В результ., получ. бесконечная послед. частных решений вида (4) ур-ния (1), которые удовлетворяют граничным условиям (7):

.

Из этих решений составим общее решение в виде ряда: ( 10)

.

Вычислим коэфф. , удовлетворяя первому нач.усл. из (2). Имеем: ,

В последнем соотношении - коэффициенты ряда Фурье для функции .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых собственных функциях, вычисляем коэффициенты разложения (10):

, , где – коэффициент разложения функции в ряд Фурье.

получены на основании второго начального условия:

.

Т. о., реш-е исх. задачи (1)-(3) представлено в виде разложения:

21.Формулы Грина для оператора Лапласа

Гармонические функции. Для простоты изложения ограничимся трехмерным евклидовым пр-ом с декартовой системой координат . В пространстве рассмотрим простейшее эллиптическое ур-ие – ур-ие Лапласа: . (1) В плоском случае имеем ур-ие Выделим ограниченную связную область . Пусть граница области представляет собой пов-ть без самопересечений, . Опр. Ф-ия называется гармонической в области , если и удовлетворяет ур-ию Лапласа (1) в области . Укажем на исключительную роль при исследовании краевых задач для ур-ия (1) фундаментального решения

где -координаты фиксированной точки , называется фундаментальным решением ур-ия Лапласа . Первая, вторая и третья формулы Грина. При изучении свойств решений ур-ия (1) важную роль играют формулы Грина, связывающие значения ф-ций на границе и внутри области . Для вывода воспользуемся формулой векторного анализа , (2) где - скалярная функция; - вектор-функция, то есть векторное поле в области ; - скалярное произведение векторов и . Дифференциальные операторы определяются формулами , . Выберем , , где произвольные ф-ции , , , . После подстановки в (2) получим

, так как . Проинтегрируем полученное тождество по области , тогда

Преобразуем интеграл слева к поверхностному интегралу, используя формул Остроградского-Гаусса , где - внешняя единичная нормаль к поверхности , а . В результате получим первую формулу Грина:

, (3) где - нормаль к пов-ти в точке ; - производная по нормали; .

В формуле (3) поменяем местами функции и вычтем из формулы (3), получим вторую формулу Грина

, (4) где . В равенстве (3) положим , получим формулу

, (5) называемую третьей формулой Грина.