3.Приведение к канон. Виду д.У. Частн. Производ. 2го порядка с двумя независ. Перемен.

Буд. считать,что д.у

(1)

принадлеж. определен. типу во всей обл. и коэф. и одновремен. на ней в нуль не обращают-ся. В противном случае д.у (1) содерж. только одну старш. производн. и уже имеет простейш. вид. Для определености буд. считать, что .

Из соотнош. видно, что для выполн. соотнош. нужно в кач-ве ф-ии взять реш. д.у: (2)

Д.у (2) буд. наз. характер. ур. для д.у. (1). Разрешая д.у (2) относит-но ,перепиш. в виде: ,где и - корни ур.

Поэтому д.у (2) эквивалентно двум лин. д.у в частн. произв. 1го порядка: (3) и (4)

Для д.у (3) и (4) характ. ур явл. д.у: и (5)

Д.у (5) буд. наз. ур. характ-к для д.у (1),а их частн. инт. - характ-ми. Таким образом, если явл. общ. инт. одного из д.у (5), то ф-ия есть реш-ие д.у (1).

Рассм. теперь кажд. тип д.у (1) отдельно.

Случай 1. Пусть на обл. д.у (1) явл. ур. гипербол. типа,т.е всюду в обл. выраж. . Тогда всюду в обл. ф-ии вещ-ны. Поэтому никакие две характ-ки из разн. семейств и (6) не касаются др. друга. Эти два сем-ва образ. криволин. сетку. Выбрав: , ,где и опред. из (6),получим,что .

Поэтому д.у после деления на примет вид: (7)

Ф-ма д.у (7) наз. канонич. ф-мой ур. гипербол. типа. Отметим, что часто исп. и др. канонич. ф-му, которая из исх. д.у (1) можно получить заменой и .

В этом случае д.у им. вид: (8)

Случай 2. Пусть на обл. д.у (1) есть ур. эллиптич. типа, т.е выраж. на обл. . Тогда ур. характ-к (5) при вещ. коэф. им комплексно сопряж. правой части. Все характ-ки буд. комплексн. Считая, что коэф. опред-ся в комплексн. обл-ти и аналитичны, сделаем формальную замену: и , где и есть комплексно сопряжен. общ. инт. д.у (5). В результате получ. д.у (9) в комплексн. обл-ти. Если сделать еще одну замену , то д.у (9) примет вид: (10) уже в вещ-ой обл-ти ур. (10) есть канонич. ф-ма ур. эллиптич. типа.

Случай 3. Пусть на обл. д.у (1) есть ур. параболич. типа, т.е выраж. на и . В этом случае сущ. только одно ур. характ-к .

Пусть есть его общ. инт. Возьмем произв. дважды диф-мую ф-ию ,такую, чтобы (11).

Тогда при замене и коэф-ты и . Коэф. , т.к в противном случае не буд. выполн. условие (11). Поэтому д.у примет вид (12).

Д.у (12) есть канонич. ф-ма ур. параболич. типа.

15. Схема метода разделения переменных для решения смешанных задач

Рассмотрим смеш. задачу для одн-го ур-ия колебаний струны общ. вида с одн-го граничными усл.: на , (1) , , , (2) , , , , (3), где - оператор Штурма-Лиувилля.

Будем считать, что на ф-ии _{и коэфф-ты} накладываются след. ограничения: _. Для реш-я граничной задачи (1)-(3) применим метод разделения переменных, котор. состоит в отыскании решений ур-ия (1) в виде (4). Подставив ф-ию (4) в ДУ (1), получим равенство . Разделим данное равенство на , получим: .

Выраж,стоящее слева зависит только от , а выраж справа - только от _{.Данное} соотнош. имеет место эти выражения являются постоянными, и имеет место: , где -постоянная разделения. В результ. получ. 2обыкн.ДУ: , (5) . (6) Потребуем, чтобы решения (4) удовл граничным условиям (3). Подставляя (4) в условия (3), получаем , Так как , то получаем слудующие граничные условия для ф-ии : , . Добавляя эти усл-я к ДУ (6), получим задачу Штурма-Лиувилля : , , .(7)

Предположим, что собств. знач. и собств. ф-ции , для задачи Штурма-Лиувилля (7) вычислены. Здесь , . В случае отсутствия нулевого решения полагаем, что: . Вычислим , пологая в ДУ (5) . При получаем ДУ . Общее решение последнего ДУ: , ,где - пр. пос. При получим обыкн ДУ: . Общее решение , где -произвольные постоянные. Таким образом, мы получили бесконечную послед-сть частных решений вида (4) для ДУ (1), в виде , _, .(8) Из частных реш.(8) получаем общ. реш. ДУ(1) в виде ряда: (9 ) .

Вычислим коэф-нт , удовлетворяя первому начальному условию (2): . Имеет место ф-ла: . (10) Из 2-го начального условия (2) получаем рав-во:

.

Можно показать, что имеет , , , (11) Т. о., мы получ., что решение задачи (1)-(3) представлено в виде ряда (9) с коэфф-ми , определенными формулами (10), (11).