5.Классические решения простейших ду-ий с частными производными

1. Общее решение простейшего гиперболического уравнения на плоскости. Рассмотрим гиперболическое ДУ-ие.

(1). , где функция Найдём её общее решение. Проинтегрируем уравнение (1) по x. В рез-те получаем, что , где С(у)-произвольная непрерывная функция переменной у. Далее интегрируя получаем ДУ по у, получаем, что . И теперь с учётом произвольности функции С(у) окончательно получаем общее решение ДУ (1) в виде (2), где и есть произвольно непрерывно дифференцируемые функции. На основании формулы (2) приходим у выводу, что ДУ (частный случай - при - ДУ-ия (1)) (3) имеет общее решение (4). ДУ-ие , (5), приводится к ДУ-ию (вида (3)) заменой , . Поэтому его общее решение определяет соотношением (6)

2. Нахождение решений уравнения Лапласа на плоскости. Полагая в ДУ-ии параметр а=i, где есть мнимая единица, получаем уравнение Лапласа (7). Пусть f(x) есть произвольная функция комплексного переменного z=x+iy на области . Выделим у неё действительную и мнимую части: f(z)=u(x,y)+iv(x,y).

Известно, что ф-ции u(x,y) и v(x,y) удовлетворяют системе Коши Римана , а также каждая из них удовлетворяет уравнению Лапласа (7). Это даёт способ нахождения частных решений данного ДУ-ия.

Пример 1. Рассмотрим аналитическую функцию комплексного переменного . Запишем комплексное число в виде , где . Тогда . В рез-те получаем такие решения уравнения Лапласа: ,

. Умножив функцию на числовой множитель , получим решение (8). Оно называется фундаментальным решением уравнения Лапласа (7). Непосредственными вычислениями проверяем, что уравнение Лапласа в трёхмерном случае (9) имеет решение . Оно также называется фундаментальным решением уравнения Лапласа (9).

6. Классификация линейных ду-ий 2-ого порядка со многими независимыми переменными

Для линейных ДУ-ий 2-го порядка с n>2 незав-ми переменными в общем случае приведение к канон-му виду удаётся лишь в случае ДУ-ий с постоянными коэф-ами. Рассмотрим линейные ДУ-ия 2-ого порядка с n незав-ми переменными (1)

Где коэф-ты , , , определены на области , . Выделим главную часть ДУ-ия (1):

(2).

Далее рассмотрим n числовых переменных , и поставим в соответствие частным производным ф-ции и числовые выр-ия по следующему правилу , .Тогда главной части (2) соответствует полином по переменным : (3).

Полином (3) по переменным , будем называть характеристическим полиномом. Зафиксируем точку . В рез-те получим квадратичную форму с постоянными коэф-ми (4).

Рассмотрим пов-ть , определённую ур-ем (5) ,

где . Теперь положим в выр-ии (3) . Поэтому .

Опр 1. Пов-ть Г, заданную ур-ем (5), будем называть характеристикой, или характеристической поверхностью ДУ-ия (1), если во всех точках пов-ти Г для ф-ции выполняется соотношение (6).

При этом ур-ие (6) будем называть ур-ем характеристик. Отметим, что в случае n=2 ур-ие (6) совпадает с характеристическим ур-ем . Из курса линейной алгебры известно, что квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду. Для этого от переменных перейдём к новым переменным , с помощью линейного невырожденного преобразования (7) ,

где есть невырожденная матрица. Далее подставим (7) в квадратичную форму (4). Имеем , . Тогда . В итоге мы получили новую квадратичную форму (8)

с коэф-ми (9) .

Из теории квадратичных форм известно, что существует такое невырожденное линейное преобразованное (7) для которого форма (8) принимает канонический вид (10), , т.е. =0 при , а , . При этом число значений -1,0 и 1 у коэф-ов квадратичной формы (10) не зависит не зависит от преобразования (7). Этот факт используется для классификации ДУ-ий (1)

Опр. 2 ДУ-ие (1) наз-ся: 1) Эллиптическим в точке , если в квадратичной форме (10) все коэф-ты , , или все коэф-ты , 2) гиперболическим в точке , если в квадратичной форме (10) коэф-ты , , , или коэф-ты , , ; 3) параболическим в точке , если в квадратичной форме (10) коэф-ты , , или коэф-ты , , . Очевидно, данная классификация не исчерпывает все типы ДУ-ий (1).