
Закон преломления
Доказательство закона преломления света исходя из принципа Ферма несколько более сложное, чем представленные выше.
Принцип Ферма представляет собой предельный случай принципа Гюйгенса-Френеля в волновой оптике для случая исчезающей малой длины волны света.
Дифракция - процесс искривления световых лучей, при прохождении их у края непрозрачных тел или сквозь небольшие отверстия, нарушающий законы геометрической оптики. Именно дифракция не позволяет различать сколь угодно малые детали предметов (накладывает ограничения на увеличение изображений в оптических приборах).
Проявляется дифракция света в том, что свет проникает в область геометрической тени в нарушение закона прямолинейного распространения света. Например, пропуская свет через маленькое круглое отверстие, обнаруживаем на экране светлое пятно большего размера, чем следовало ожидать при прямолинейном распространении.
Согласно принципу
Гюйгенса-Френеля, волновое возмущение
в точке P (рис.1), создаваемое источником
P0, можно рассматривать как результат
интерференции вторичных элементарных
волн, излучаемых каждым элементом dS
некоторой волновой поверхности S с
радиусом r0. Амплитуда вторичных волн
пропорциональна амплитуде первичной
волны, приходящей в точку Q, площади
элемента dS и убывает с возрастанием
угла между нормалью к поверхности S и
направлением излучения вторичной волны
на точку P Амплитуда EQ первичной
волны в точке Q на поверхности S даётся
выражением
,
где A -
амплитуда волны на расстоянии единицы
длины от источника, k -
волновой вектор,
-
циклическая частота. Вклад в волновое
возмущение в точке P, вносимый элементом
поверхности dS,
запишется в виде
|
(1) |
где
-
расстояние от точки Q до P,
-
функция, описывающая зависимость
амплитуды вторичных волн от угла
.
Полное поле в точке наблюдения P
представляется интегралом
|
(2) |
Если за элемент поверхности взять
площадь кольца, вырезаемого из волнового
фронта S двумя бесконечно близкими
концентрическими сферами с центрами в
точке наблюдения P, и выразить dS через
приращение
,
то получим
|
(3) |
Верхний предел интеграла Rmax=R+2r0.
Функция теперь рассматривается как
функция от
Точное
вычисление (3) невозможно без знания
,
однако Френель дал метод приближённого
его вычисления, используя разбиение
поверхности S на так называемые зоны
Френеля. Вид функции
в
принципе Гюйгенса-Френеля остается
неопределенным, но при
;
множитель i означает,
что фазы вторичных волн отличаются
на
от
фазы первичной волны в точке Q.
Из математически точного определения
принципа Гюйгенса-Френеля, данного
Кирхгофом, следует и определение
функции
Зоны френеля
участки, на к-рые разбивают поверхность фронта световой волны для упрощения вычислений при определении амплитуды волны в заданной точке пр-ва. Метод З. Ф. используется при рассмотрении задач о дифракции волн в соответствии с Гюйгенса — Френеля принципом. Рассмотрим распространение монохроматической световой волны из точки Q(источник) в к.-л. точку наблюдения Р (рис.).
Согласно принципу Гюйгенса — Френеля,
действие источника Q заменяют действием
воображаемых источников, расположенных
на вспомогат. поверхности S, в кач-ве
к-рой выбирают поверхность фронта
сферич. волны, идущей из Q. Далее поверхность
S разбивают на кольцевые зоны так, чтобы
расстояния от краёв зоны до точки
наблюдения Р отличались на l/2: Ра=РО+l/2;
Рb=Ра+l/2; Рс=Рb+l/2 (О — точка пересечения
поверхности волны с линией PQ, l — длина
волны). Образованные т. о. равновеликие
участки поверхности S наз. З. Ф. Участок
Оа сферич. поверхности S наз. первой З.
Ф., аb — второй, bc — третьей З. Ф. и т. д.
Радиус m-й З. Ф. в случае дифракции на
круглых отверстиях и экранах определяется
след. приближённым выражением (при
ml<-r0):
где R — расстояние от источника до отверстия, r0 — расстояние от отверстия (или экрана) до точки наблюдения. В случае дифракции на прямолинейных структурах (прямолинейный край экрана, щель) размер m-й З. Ф. (расстояние внеш. края зоны от линии, соединяющей источник и точку наблюдения) приближённо равен O(mr0l).
Волн. процесс в точке Р можно рассматривать как результат интерференции волн, приходящих в точку наблюдения от каждой З. Ф. в отдельности, приняв во внимание, что амплитуда колебаний от каждой зоны медленно убывает с ростом номера зоны, а фазы колебаний, вызываемых в точке Р смежными зонами, противоположны. Поэтому волны, приходящие в точку наблюдения от двух смежных зон, ослабляют друг друга; амплитуда результирующего колебания в точке Р меньше, чем амплитуда, создаваемая действием одной центр. зоны.
Метод разбиения на З. Ф. наглядно объясняет прямолинейное распространение света с точки зрения волн. природы света. Он позволяет просто составить качественное, а в ряде случаев и достаточно точное количеств. представление о результатах дифракции волн при разл. сложных условиях их распространения. Экран, состоящий из системы концентрич. колец, соответствующих З. Ф. (см. ЗОННАЯ ПЛАСТИНКА), может дать, как и линза, усиление освещённости на оси или даже создать изображение. Метод З. Ф. применим не только в оптике, но и при изучении распространения радио- и звук. волн.
Математическая формулировка принципа Гюйгенса-Френеля
Пусть S - волновая поверхность, не закрытая
препятствием, P - точка наблю-дения. Тогда
элемент поверхности dS возбудит в точке
P колебание:
Результирующее
колебание:
Здесь
k( φ) определяет зависимость амплитуды
dE от угла между нормалью к площадке dS и
направлением на точку P. Множитель a0
дает амплитуду светового колебания в
том месте, где находится dS. Величины ω
и k - круговая частота и волновое число
сферической волны (15.1.7.), распространяющейся
от элемента dS.
Дифракция на круглом экране.
Рассмотрим опять точку на оси. Здесь начало вектора, определяющего амплитуду, находится в центральной точке N, конец – в конце последней закрытой зоны. Если закрыто мало зон, в точке на оси освещенность почти такая же, как и в отсутствии экрана. С увеличением числа зон освещенность падает. Но в середине все-таки светлое пятнышко. Вокруг – кольца.
Это явление явилось одним из первых доказательств волновой природы света (Араго). (Оно находило применение в фотографии – вместо объектива – шарик).
Но все это так получается только если отверстие, или экран – круглые с точностью до размеров зоны.
Светлое пятно в середине геометрической тени получило название пятно Пуассона.