Задание 1. По имеющимся данным требуется;

1. Построить статистический ряд распределения, изобразить получившийся ряд графически с помощью полигона или гистограммы. Найти функцию распределения, построить ее график.

2. Найти: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, среднее квадратическое отклонение выборки, моду и медиану.

3. Проверитъ при уровне значимости α = 0,05 гипотезу о соответствии

имеющегося статистического распределения нормальному закону.

4. Считая данные нормально распределенной случайной величиной найти:

а) точечную оценку математического ожидания изучаемой совокупности;

б) доверительный интервал для математического ожидания с доверительной

вероятностью 0,95.

Имеются данные о стаже работы сотрудников предприятия, лет

9	8	15	11	9	18	1	21	17	3
2	12	15	6	26	17	3	11	12	14
10	9	12	19	12	5	7	4	15	18
11	10	16	8	6	19	12	11	10	20

1. Для удобства проранжируем полученные данные и составим вариационный ряд, т.е. расположим их в порядке возрастания:

1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 11,11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 14,

15, 15, 15, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 21, 26.

Так как число значений случайной величины Х – «стаж работы сотрудников предприятия» – достаточно велико (22 значения), то построим интервальный статистический ряд.

Определим: х_min = 1, x_max = 26; объем выборки n = 40.

По формуле Стерджесса при n = 40 находим длину частичного интервала:

Принимаем h = 4. Тогда . Но так как стаж работы не может быть отрицательной величиной, принимаем х_нач = 0.

Число интервалов m = 1 + 3,32lgn = 1 + 3,32lg40 = 6,3 ≈ 6.

Исходные данные разбиваем на 6 интервалов: [0, 4), [4, 8), [8, 12), [12, 16),

[16, 20), [20, 24), [24, 28)

Подсчитав число сотрудников (частоту n_i), попавших в каждый из полученных интервалов, и вычислив для каждого интервала частость , построим интервальный статистический ряд (таблица 1):

Таблица 1

xi – xi+1	0 – 4	4 – 8	8 – 12	12 – 16	16 – 20	20 – 24	24 – 28
Частота ni	4	5	12	9	7	2	1
Частость	0,1	0,125	0,3	0,225	0,175	0,05	0,025

Контроль: 0,1+0,125+0,3+0,225+0,175+0,05+0,025 = 1

Построим гистограмму, отложив по оси абсцисс интервалы, а по оси ординат – частости.

По полученным результатам находим функцию распределения F*(x).

Очевидно, что для имеем F*(x) = 0, так как n_i = 0. Подсчитаем значения функции F*(x) в виде «наращенной относительной частоты» и составим таблицу 2.

Таблица 2

Стаж	(-∞, 0)	[0, 4)	[4, 8)	[8, 12)	[12, 16)	[16, 20)	[20, 24)	[24, 28)
F*(x)	0	0,100	0,225	0,525	0,750	0,925	0,975	1,000

По полученным результатам строим график функции распределения

2. Для нахождения числовых характеристик выборки в качестве представителей каждого интервала возьмем их середины (таблица 3).

Таблица 3

Интервалы	0 – 4	4 – 8	8 – 12	12 – 16	16 – 20	20 – 24	24 – 28
Середина интервала xi	2	6	10	14	18	22	26
Частота ni	4	5	12	9	7	2	1
Частость	0,1	0,125	0,3	0,225	0,175	0,05	0,025
Накопленная частота	4	9	21	30	37	39	40

Выборочная средняя определяется как среднее арифметическое полученных при выборки значений:

= 2·0,1 + 6·0,125 + 10·0,3 + 14·0,225 + 18·0,175 + 22·0,05 + 26·0,025 = 12

Выборочная дисперсия вычисляется по одной из формул:

D_в = (2–12)²·0,1 + (6–12)²·0,125 + (10–12)²·0,3 + (14–12)²·0,225 + (18–12)²·0,175 +

+ (22–12)²·0,05 + (26–12)²·0,025 = 32,8

Выборочное среднее квадратическое отклонение равно:

Мода М₀ – варианта, имеющая наибольшую частоту, для интервального статис-тического ряда вычисляется по формуле:

где - начало модального интервала; - частота модального интервала; - частота интервала, предшествующего модальному; - частота интервала, следующего за модальным.

Тогда:

Медиана М_е – значение признака (варианта), приходящееся на середину вариаци-онного ряда, для интервального статистического ряда вычисляется по формуле:

где - начало медианного интервала; - частота медианного интервала; - накопленная частота интервала, предшествующего медианного.

Медианным интервалом является интервал (8 – 12), для него S_n = 21 > n/2 = 20, а для предшествующего интервала (4 – 8) S_n = 9 < n/2. Тогда:

3. Число значений случайной величины Х (частота) в крайних интервалах меньше 5, поэтому объединяем их с соседними (таблица 4).

Таблица 4

Интервалы	0 – 8	8 – 12	12 – 16	16 – 26
Середина интервала xi	4	10	14	21
Частота ni	9	12	9	10
Частость	0,225	0,3	0,225	0,25

Вычислим выборочные среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

= 4·0,225 + 10·0,3 + 14·0,225 + 21·0,25 =12,3

D_в = (4–12,3)²·0,225 + (10–12,3)²·0,3 + (14–12,3)²·0,225 + (21–12,3)²·0,25 = 36,66

Находим вероятности р_i (i = 1;4). При распределении случайной величины Х по нормальному закону с параметрами (а, σ) на интервале (-∞, +∞), то крайние интервалы в ряде распределения заменяем соответственно на (-∞, 8) и (16, +∞).

Тогда вероятность попадания Х в интервал вычисляется по формуле:

где Ф(х) – функция Лапласа.

Контроль: 0,2389+0,2412+0,2490+0,2709 = 1

Полученные результаты сводим в таблицу 5

Таблица 5

xi – xi+1	-∞ – 8	8 – 12	12 – 16	16 – +∞
ni	9	12	9	10
	9,56	9.65	9,96	10,84

Вычисляем :

т.е.

Находим число степеней свободы: по выборке рассчитаны два параметра, значит, r = 2. Количество интервалов m = 4. Следовательно, k = 4 – 2 – 1 =1. При α = 0,05 и k = 1 по таблице распределения находим . Так как , то нет оснований отвергнуть проверяемую гипотезу.

4. а) По методу моментов при нормальном распределении случайной величины Х теоретический начальный момент I порядка приравниваем эмпирическому моменту I порядка: v₁ = М_э.

Так как v₁ равно математическому ожиданию (v₁ = М_х), а , то , т.е. точечной оценкой математического ожидания является средняя выборочная.

б) Доверительный интервал для математического ожидания нормально распреде-ленной случайной величины при неизвестной дисперсии определяется неравен-ством:

где S – исправленное среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, вычисленное по выборке: ; t_γ – коэффициент, опреде-ляемый по таблице квантилей распределения Стьюдента в зависимости от дове-рительной вероятности γ и числа степеней свободы n–1.

По данным таблицы 3 имеем: = 12, находим S:

По таблице значений t_γ для γ = 0,95 и n–1=39 имеем t_γ = 2,023. Тогда:

Задание 2. По приведенным ниже данным требуется: