19. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, параллельную двум данным векторам. Уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки.

Плоскость в пространстве – геометрическое место точек, удовлетворяющее уравнению Ax+By+Cz+D=0, где A≠0 v B≠0 v C≠0;

Пусть дана точка M(x₀,y₀,z₀) и 2 вектора q₁={x₁; y₁; z₁} и q₂={x₂; y₂; z₂}

Тогда уравнение плоскости L будет иметь вид:

Пусть даны 3 точки: M(x₀,y₀,z₀), M₁(x₁, y₁,z₁) и M₂ (x₂, y₂,z₂), тогда уравнение плоскости L будет иметь вид:

20. Комплексные числа и арифметические операции над ними

http://mathprofi.ru/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov.html

Комплексные числа – всевозможные упорядоченные пары z=(x, y); действительных чисел, для которых определены операции сложения и умножения:

(x₁, y₁)+(x₂, y₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂);

(x₁, y₁)*(x₂, y₂) = (x₁x₂-y₁y₂, x₁y₂+x₂y₁);

Комплексное число z=(x, y) имеет действительную часть (x – обозн. Re z), и мнимую часть (y – обозн. Im z)

Из формул сложения и умножения следует, что всякое комплексное число можно записать в виде –

(x, 0)+(y, 0) = (x+y, 0)  x+y;

(x, 0)+(y, 0) = (x*y, 0)  x*y;  (x, y) = (x, 0) + (0, 1) (y, 0).

Обозначим (x, 0) = x, (y, 0) = y, и (0, 1) = i, то комплексное число имеет вид

z = x+i*y; где i – мнимая единица.

C – множество комплексных чисел. (заметим, что R ⊂ C и что действительные числа, являются частным случаем комплексных чисел, в которых мнимая часть = 0)

Пусть z₁=x₁+iy₁, a z₂=x₂+iy₂; тогда.

Сложение К.Ч. : сложение действительных и мнимых частей. z₁+z₂ = (x₁+x₂, iy₁+iy₂)

Вычитание К.Ч. : z₁-z₂ = x₁+iy₁ – (x₂+iy₂) = (x₁+(-x₂) + iy₁+(-iy₂);

Умножение К.Ч. : z₁*z₂= (x₁+iy₁)*(x₂+iy₂)=(x₁x₂+x₁*iy₂+iy₁*x₂*+i²y₁y₂) Помним, что i²=-1 !.

Деление К.Ч. : . (домножение на сопряженное комплексное число. Сопряженное комплексное - просто меняем знак мнимой части)

21. Сопряженные комплексные числа. Корни многочлена с вещественными коэффициентами.

Сопряженным К.Ч. к К.Ч. z=(x + iy) называют число ž = (x – iy);

(Заметим, что на комплексной плоскости сопряженные числа будут симметричны относительно вещественной прямой)

МНОГОЧЛЕН Я ХЗ ЧТО ЭТО ТАКОЕ ЗАЕБАЛСЯ ИСКАТЬ. Вот.

22. Тригонометрическая и показательная форма к.Ч. Умножение и деление к.Ч. В тригон. И показат. Форме

Любое комплексное число, отличное от нуля z=x+iy  можно записать в тригонометрической форме:

z=|z|(cos ϕ + i sin ϕ), где |z| – это модуль комплексного числа равен ), а ‘ϕ’ – аргумент комплексного числа (обозн. Arg z) – Аргумент К.Ч. – всякое решение системы уравнений:

Также ϕ – есть угол между радиус вектором К.Ч. и положительной действительной полуосью.

1) Если x>0 (1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле 

2) Если x<0,y>0 (2-ая четверть), то аргумент нужно находить по формуле  .

3) Если x<0,y<0 (3-я четверть), то аргумент нужно находить по формуле 

Любое К.Ч., отличное от нуля, можно представить в виде показательной формы: z=|z|*e^iϕ , где

|z| – это модуль комплексного числа, а ϕ – Агрумент К.Ч.

Комплексное число в показательной форме записывается строго по форме z=|z|*e^iϕ .

Теорема. (Об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.)

 Пусть  , где   и  , где  – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда

z₁z₂ = |z₁||z₂|(cos(ϕ₁+ϕ₂) + i sin(ϕ₁ + ϕ₂)).

   Доказательство. 

, ч.т.д.

Теорема. (О делении комплексных чисел в тригонометрической форме)

Пусть  , где   и  , где   – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда

              .               

   Доказательство. Воспользуемся следствием формулы Муавра и правилом умножения комплексных чисел в тригонометрической форме записи. Получаем:

 

, ч.т.д.

Умножение в К.Ч. в показательной форме:

z₁z₂ =|z₁||z₂|e^{i (ϕ1+ ϕ2)}

Деление К.Ч. в показательной форме: