9. Свойства скалярного произведения векторов. Скалярное произведение в координатной форме в декартовом базисе.

Алгебраические свойства:

1. ab = ba (переместительное свойство);

2. (αa)b = α(ab) (сочетательное относительно числового множителя свойство);

3. (a+b)c = ac + bc (распределительное относительно суммы векторов свойство);

4. aa > 0, если a — ненулевой вектор, и aa = 0, если a — нулевой вектор.

Геометрические свойства:

1. Два вектора являются ортогональными  их скалярное произведение =0.

2. Два ненулевых вектора a и b составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно).

Если два вектора a и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами

a = {X₁, Y₁, Z₁}, b = {X₂, Y₂, Z₂},

то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т. е.

ab =

Два вектора a = {X₁, Y₁, Z₁}, b = {X₂, Y₂, Z₂}, являются ортогональными 

Угол ϕ между векторами a = {X₁, Y₁, Z₁}, b = {X₂, Y₂, Z₂} определяется по формуле ( ):

.

10. Модуль вектора. Косинус угла между векторами. Условие перпендикулярности двух векторов.

Модуль вектора – число равное длине вектора (при заданном масштабе). Обозначается . Если , то вектор a называется единичным.

Косинусом угла ϕ (угол между векторами a = {X₁, Y₁, Z₁}, b = {X₂, Y₂, Z₂}) называется число, которое получается при делении скалярного произведения векторов на .

Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда, когда их скалярное произведение равно 0.

11. Площадь параллелограмма, построенного из двух векторов в плоскости.

Длина (или модуль) векторного произведения [ab] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b.

12. Ориентация системы координат. Правая и левая тройки векторов. Определение векторного произведения. Свойства векторного произведения.

Рассмотрим упорядоченную пару неколлинеарных векторов. Ориентация называется положительной, если кратчайший поворот от первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки, отрицательной в противном случае.

Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих векторов является первым, какой — вторым и какой — третьим.

Тройка не компланарных векторов abc называется правой (левой), если выполнено одно из следующих трех условий:

1. Если, будучи приведены к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, не согнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки;

2. Если после приведения к общему началу вектор с располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами a и b, откуда кратчайший поворот от a к b кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке);

3. Если, находясь внутри телесного угла, образованного приведенными к общему началу векторами a, b, c, мы видим поворот от a к b и от него к c совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Векторным произведением, вектора a на вектор b называется вектор c, обозначаемый символом

c = [ab] и удовлетворяющий следующим трем требованиям:

1. длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла ϕ между ними , т. е. |c| = |[ab]| = |a||b|sin ϕ;

2. вектор c ортогонален к каждому из векторов a и b;

3. вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой .

Алгебраические свойства:

1. [ab] = — [ba] (свойство антиперестановочности сомножителей) ;

2. [(αa)b] = α[ab] (сочетательное относительно числового множителя свойство);

3. [(a + b) c] = [ac] + [bc] (распределительное относительно суммы векторов свойство);

4. [aa] = 0 для любого вектора a.

Геометрические свойства:

1. Два вектора коллинеарны  их векторное произведение равно 0.

2. Если c — какой-нибудь вектор, π— любая содержащая его плоскость, e — единичный вектор, лежащий в плоскости π и ортогональный к c, g— единичный вектор, ортогональный к плоскости π и направленный так, что тройка ecg является правой, то для любого лежащего в плоскости π вектора a справедлива формула: [ac] = пр_ea|c|g.