47)Подгруппы. Разложение по подгруппе. Теорема Лагранжа.

Подгруппы:

Подмножество G₁ элементов группы G называется подгруппой этой группы, если выполнены условия:

1) если элементы а и Ь принадлежат G₁, то и аЬ принадлежит G₁ ,

2) если элемент а принадлежит G₁, то и обратный элемент а^-1

также принадлежит G₁.

Подгруппа G₁ группы G, рассматриваемая как самостоятельное множество, в котором определена операция умножения по закону композиции из объемлющей группы G, представляет

собой группу.

Проверка этого утверждения не представляет затруднений.

Простейшей подгруппой любой группы является ее единич-

единичный элемент. Другим примером может служить подгруппа G₁

всех четных чисел в группе G относительно сложения всех це-

целых чисел.

Разложение по подгруппе:

Теорема Лагранжа:

Если функция f(x) дифференцируема в замкнутом промежутке (a, b), то отношение (f(b)-f(a))/(b-a) равно значению производной f’(x) в некоторой точке x=, лежащей внутри промежутка (a, b):

Пример: Пусть f(x)=x². Тогда f’()=2. Формула принимает вид (b²-a²)/(b-a)=2, откуда =(a+b)/2, т.е.  лежит в точности на середине промежутка (a, b).

48)Нормальные подгруппы. Фактор-группы. Циклические группы. Гомоморфизмы групп.

Нормальные подгруппы.

Фактор-группы.

Циклические группы.

Если обозначить символом а^-1 элемент, обратный элементу a

(a^-1 —элемент, отвечающий повороту на угол —ф) и единицу

рассматриваемой подгруппы обозначить а⁰, то, очевидно, любой

элемент а_k, при отрицательном, положительном и нулевом зна-

значении k можно записать в виде

a_k =a^k, k =0, ±1, ±2, ... (9.19)

Группы, элементы а_k, которых могут быть представлены в виде

(9.19), называются циклическими.

Очевидно, циклические группы являются дискретными.

Отметим два типа циклических подгрупп поворотов:

1) Если ф ≠ 2п p/q, где р и q — целые числа (т. е. угол не-

несоизмерим с п), то все элементы a_k различны.

2) Если ф = 2п p/q, где р и q — взаимно простые числа, то

справедливо соотношение a_k+q = а_k, то есть а^q = а⁰.

Группы, для которых выполняется последнее соотношение,

называются циклическими группами по-

порядка q.

Гомоморфизмы групп.

(теорема о гомоморфизмах групп). Пусть f — гомоморфизм группы G на G̅ и Н — тот нормальный делитель группы G, элементам которого соответствуют при гомоморфизме f единица группы G̅ *). Тогда группа G̅ и фактор-группа GIH изоморфны.

Доказательство. Установим взаимно однозначное соответствие между элементами группы G̅ и смежными классами по нормальному делителю Н: элементу а̅ группы G̅ поставим в соответствие тот смежный класс, который с помощью f отображается в а̅. Очевидно, это соответствие взаимно однозначно, ибо, согласно свойству 3° смежных классов эти классы не пересекаются. Если определить умножение этих классов как подмножеств группы G и воспользоваться утверждением,

доказанным в конце предыдущего пункта, то легко видеть, что установленное только что взаимно однозначное соответствие есть изоморфизм. Но классы смежности и есть элементы факторгруппы. Теорема доказана.