41)Приведение квадратичной формы к каноническому виду изометрическим линейным преорбазованием.

Приведение квадратичных форм к каноническому виду

Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей .

Это симметрическое преобразование можно записать в виде:

y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a12x1 + a22x2

где у1 и у2 – координаты вектора в базисе .

Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде

Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.

Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 – скалярное произведение .

42)Напомнить индуктивное определение определителя. Разложение по первой строке. Перестановка двух строк.

43)Разложение определителя по любой строке.

Рассмотрим квадратную матрицу A n-го порядка.

Выберем i,j-ый элемент этой матрицы и вычеркнем i-ую строку и j-ый столбец. В результате мы получаем матрицу (n – 1)-го порядка, определитель которой называется минором элемента и обозначается символом M_{i j}:

Алгебраическое дополнение A_i,j элемента a_{i j} определяется формулой

Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:

Теорема о разложении определителя по элементам столбца. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения:

Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливают, что проблема вычисления определителя n-го порядка сводится к проблеме вычисления n определителей (n –1)-го порядка.

Доказательство. По определению, детерминант матрицы A представляет собой сумму

по всем возможным перестановкам индексов, нумерующих столбцы.

Выберем произвольным образом некоторую строку, например, с номером i.

Один из элементов этой строки представлен в каждом произведении . Поэтому слагаемые суммы (*) можно перегруппировать, объединив в первую группу те, что содержат элемент a₁₁ в качестве общего множителя, во вторую группу – члены, содержащие элемент a₁₂ и т.д.

Другими словами, выражение (*) можно представить в виде линейной комбинации элементов a_{i j} (j = 1,2,…,n):

где

представляет собой минор элемента a_{i j} .

Таким образом, и, следовательно, представляет собой алгебраическое дополнение элемента a_{i j}.

Поскольку , то тем самым доказана и Теорема о разложении определителя по элементам столбца.

44)Транспонирование определителя.

При транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке):

45)Определитель произведения двух квадратных матриц.

Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих квадратных матриц, т.е.

46)Группы. "Экономное" опеределение. Единственность и перестановочность левой единицы и левого обратного.

Понятие группы

Определение 1. Множество А, в котором определен закон композиции Т, называется группой G, если этот закон ассоциативен, существует нейтральный элемент е относительно закона Т и для каждого элемента а множества А существует обратный элемент а^-1, т. е. такой элемент, для которого аТа^-1 = е.

Если использовать мультипликативную форму записи композиции элементов, то определению 1 можно придать следующую форму.

Определение 2. Множество А элементов а, Ь, с ..., котором определен закон композиции, называемый умножением и ставящий в соответствие каждой паре элементов а, Ь множества А определенный элемент с = ab этого множества, называется группой G, если этот закон удовлетворяет следующим требованиям:

1°. a (bс) — (ab)c {ассоциативность).

2°. Существует элемент е множества А такой, что для любого элемента а этого множества ае = а (существование нейтрального элемента).

3°. Для любого элемента а множества А существует обратный элемент а^-1такой, что аа^-1 = е.

Обычно нейтральный элемент е называется единицей группы G. Если закон композиции Т, действующий в группе G, является коммутативным, то группа G называется коммутативной или абелевой. Для абелевых групп часто используется аддитивная форма записи композиции элементов. В этом случае нейтральный элемент абелевой группы называется нулем.