5. Линейное программирование в задачах управления для физических, производственных и социально-экономических объектов и процессов. Распределение ресурсов.

Линейное про­граммирование — раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений. Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда — необходимость разработки новых методов.

Задачами линейного программирования (ЛП) называются задачи, в которых линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и неравенств и для которых методы математического анализа оказываются непригодными. ЛП представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. В сфере лесного комплекса к их числу относятся задачи:

рациональное использование сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя;

оптимизации производственной программы предприятий;

оптимального размещения и концентрации производства;

на составление оптимального плана перевозок, работы транспорта;

управления производственными запасами;

и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

 Формы записи задачи линейного программирования:      Общей задачей линейного программирования называют задачу        (2.1)      при ограничениях       (2.2)       (2.3)       (2.4)       (2.5)       -произвольные  (2.6)      где   - заданные действительные числа; (2.1) – целевая функция; (2.1) – (2.6)–ограничения;   -план задачи.

Оптимальное распределение взаимозаменяемых ресурсов. Имеются m видов взаимозаменяемых ресурсов а₁, а₂, ., а_m, используемых при выполнении nразличных работ (задач). Объемы работ, которые должны быть выполнены, составляют b₁, b₂, . , b_i, b_n единиц. Заданы числа  , указывающие, сколько единиц j -й работы можно получить из единицы і -го ресурса, а также C_ij - затраты на производство j -й работы из единицы i -го ресурса. Требуется распределить ресурсы по работам таким образом, чтобы суммарная эффективность выполненных работ была максимальной (или суммарные затраты - минимальными).

Данная задача называется общей распределительной задачей. Количество единиц i -го ресурса, которое выделено на выполнение работ j -го вида, обозначим через x_ij.

Математическая модель рассматриваемой задачи такова:

(3.3)

(3.3)

при ограничениях

(3.4)		(3.4)
(3.5)	(3.5)

Ограничение (3.4) означает, что план всех работ должен быть выполнен полностью, а (3.5) означает, что ресурсы должны быть израсходованы целиком.