24. Довірче оцінювання. Інтервал довіри. Рівень довіри

Для повного уявлення про точність вимірювань та надійність оцінки випадкових відхилень результатів вимірювань, особливо при обмеженій кількості значень вимірюваної величини, необхідно задатися довірчими межами, довірчим інтервалом та довірчою ймовірністю. Нехай - n незалежних спостережень над випадковою величиною з законом розподілу F(z/a), що залежить від параметра a, значення якого невідомо. Довірчі межі випадкових похибок — це верхня та нижня межі інтервалу, в які похибки потрапляють із заданою ймовірністю Р. Величина Р називається довірчою ймовірністю. Для визначення довірчих меж похибок необхідно знати густину розподілу похибок та ймовірність потрапляння похибок у довірчі межі. Якщо не ввести обмеження, то задача матиме множину розв'язків.

Визначення 1. Функція спостережень a₁(x₁,...,x_n) (помітимо, що це випадкова величина) називається нижньою довірчою границею для параметра a з рівнем довіри РД (звичайно близьким до 1), якщо при будь-якому значенні виконується P

Визначення 2. Функція спостережень a₂(x₁,...,x_n) (випадкова величина) називається верхньою довірчою границею для параметра з рівнем довіри РД , якщо при будь-якім значенні

Визначення 3. Інтервал з випадковими кінцями (випадковий інтервал)

I(x) = ( a₁(x), a₂(x) ) , обумовлений двома функціями спостережень, називається довірчим інтервалом для параметра a з рівнем довіри РД , якщо при будь-якім значенні a , тобто імовірність ( що залежить від a) накрити випадковим інтервалом I(x) справжнє значення a - більше або дорівнює РД.

Рівень довіри

Рівень довіри РД означає, що правило визначення інтервалу дає вірний результат з імовірністю РД, що звичайно вибирається близькою до 1, однак, 1 не дорівнює. Переконаємося статистично на прикладі в тім, що довірчий інтервал з рівнем довіри РД може не містити (з малою імовірністю 1- РД ) істинне значення параметру.

Приклад. Розглянемо наведений випадковий інтервал I(x₁, ..., x_n), що при будь-якім значенні а накриває це значення з великою імовірністю РД:

Р{ I(x₁,...,x_n) є a } = РД , і тому, якщо знехтувати можливістю здійснення події , що має малу імовірність (1- РД), можна вважати подія є практично достовірною, тобто можна вірити тому, що обчислений за конкретними спостереженнями x₁,...,x_n інтервал I містить невідоме значення параметра а. Проведемо випробування інтервалу на 50 вибірках обсягу n=10 для трьох рівнів довіри РД : 0.9 , 0.99 , 0.999 (відповідно, три значення fp) . При РД = 0.9 число невірних з k =50 результатів виявиться в околиці 5, тому що середнє число невірних k(1- РД) = 5. При РД =0.99 поява хоча б одна невірного з k =50 досить ймовірна: імовірність цієї події . При РД =0.999 поява хоча б одна невірного є сумнівною: імовірність цієї події

25. Побудова інтервалу довіри для математичного сподівання нормального розподілу при відомій дисперсії

Припускаючи, що випадкова величина Х розподілена нормально, причому середнє квадратичне відхилення цього розподілу відоме. Потрібно оцінити невідоме математичне сподівання по вибірковій середній x_В, тобто поставимо задачу знаходження довірчого інтервалу, що накриває параметр m з надійністю .

Так як величина є сума n незалежних однаково розподілених випадкових величин Хі, то згідно центральної граничної теореми її закон розподілу близький до нормального. Параметри розподілу такі:

Вимагаємо, щоб виконувалась рівність:

де - задана надійність.

Як відомо , а замінивши Х на і на , отримаємо:

де

Знайшовши з останньої рівності , можна записати

Зауважимо, що ймовірність Р (надійність) задана, і рівна , тому маємо

Смисл одержаного співвідношення такий: з надійністю можна стверджувати, що довірчий інтервал накриває невідомий параметр m; точність оцінки .

Поставлена задача розв’язана, причому зауважимо, що число t визначається з рівності , або і по таблиці (2) функції Лапласа (див. додаток) знаходять аргумент t, якому відповідає значення функції Лапласа, рівне .

З класичної оцінки випливає, що коли об’єм вибірки n зростає, то точність оцінки збільшується, а із збільшенням надійності збільшується t (Ф(t) – зростаюча функція), тобто зменшується точність.

Приклад 1. Статистичні дослідження рівня доходу на працюючого в день дали такі результати:

З надійністю при значенні побудувати інтервал довір’я для математичного сподівання.

Рішення. Допустимо, що рівень доходу розподілений за нормальним законом. Тоді побудова інтервалу довір’я здійснюється за формулою

де

9,676<m<11,244