18. Коефіцієнт кореляції.

Особливу роль при дослідженні системи двох випадкових величин відіграє другий мішаний центральний момент μ_11, який називається кореляційним моментом (moment correlation) або моментом зв’язку(moment connection). Він зазвичай позначається  .

.

Момент зв’язку   визначений як математичне сподівання добутку відхилень двох випадкових величин від їх математичних сподівань. Крім розсіювання величин ξ₁, ξ₂ може характеризувати взаємний вплив цих випадкових величин. Для оцінювання ступеня цього впливу зазвичай використовують не сам момент зв’язку, а безрозмірне відношення   яке називають коефіцієнтом кореляції випадкових величин   і  .

Кореляційний момент і коефіцієнт кореляції мають таку властивість.

Теорема. Якщо випадкові величини ξ₁, ξ₂ незалежні, то кореляційний момент і коефіцієнт кореляції рівні нулю.

Доведення.

Доведення проведемо для неперервних випадкових величин. Нехай   і   ‑ незалежні випадкові величини зі щільністю розподілу f(х,у). Тоді f(х,у)= f₁(х)f₂(у), де f₁(х) і f₂(у) ‑ щільності розподілу, відповідно, величин  і  .

Отже,  Тобто подвійний інтеграл перетворюється в добуток двох інтегралів, кожний з яких рівний нулю, оскільки вони є математичними сподіваннями центрованих випадкових величин. Отже, для незалежних випадкових величинξ₁, ξ₂  . Із рівності нулю кореляційного моменту випливає рівність нулю коефіцієнта кореляції. Аналогічно доводиться ця властивість і для дискретних випадкових величин.

Рівність нулю коефіцієнта кореляції є тільки необхідною, але не достатньою умовою для незалежності випадкових величин. Дві випадкові величини   і   називаються некорельованими, якщо їх коефіцієнт кореляції дорівнює нулю;   і   називаються корельованими, якщо їх коефіцієнт кореляції відмінний від нуля. Таким чином, якщо випадкові величини   і   незалежні, то вони і некорельовані, але із некорельованості випадкових величин не можна зробити висновок про їх незалежність. Крім кореляційного моменту і коефіцієнта кореляції, взаємний зв'язок двох випадкових величин може бути описаний за допомогою лінії регресії. Дійсно, при кожному значенні   величина  залишається випадковою величиною, яка допускає розсіювання своїх значень. Залежність   від   визначається в зміні значень  при переході від одного значення х до іншого. Цю залежність описує крива регресії

у = mу(х).

Аналогічно, залежність   від  , яка визначається в зміні значень ξ₁ при переході від одного значення у до іншого, описується кривою регресії х = m _х(у).

19) Математична статистика — розділ математики, в якому на основі дослідних даних вивчаються імовірнісні закономірності масових явищ. Основними задачами математичної статистики є статистична перевірка гіпотез, оцінка розподілу статистичних імовірностей та його параметрів, вивчення статистичної залежності, визначення основних числових характеристик випадкових вибірок, якими є: вибіркове середнє, вибіркові дисперсії, стандартне відхилення. Прикладом перевірки таких гіпотез є з'ясування питання про те, змінюється чи не змінюється виробничий процес з часом. Прикладом оцінки параметрів є оцінка середнього значення статистичної змінної за дослідними даними. Для вивчення статистичної залежності використовують методи теорії кореляції. Загальні методи математичної статистики є основою теорії похибок.

Математична статистика широко використовує методи теорії ймовірностей. Методи математичної статистики широко застосовують в організації виробництва, радіотехніці, військовій справі, теорії автоматичного керування, біології, економіці, статистичній фізиці, зоряній астрономії тощо. Математичну статистику використовують також при розв'язанні теоретичних і практичних задач кібернетики. Порівняно новим напрямом розвитку математичної статистики є послідовний аналіз та загальна теорія статистичних рішень, яка тісно пов'язана з теорією ігор.

20) Вся множина досліджуваних числових результатів називається генеральною сукупністю, її підмножина – вибіркою з генеральної сукупності або просто вибіркою. Кількість елементів генеральної сукупності називається об’ємом генеральної сукупності, кількість елементів її підмножини – об’ємом вибірки.

Надалі під вибіркою об’єму будемо розуміти -вимірний випадковий вектор елементи якого є незалежними і однаково розподіленими. Множина значень, яку може набувати кожна з компонент, буде генеральною сукупністю, а вимірний числовий вектор кожна з компонент якого є елементом генеральної сукупності, будемо називати реалізацією вибірки.

Полігоном частот вибірки (згрупованої вибірки) називається ламана у декартовій системі координат з вершинами .

Означення. Полігоном відносних частот вибірки (згрупованої вибірки) називається ламана у декартовій системі координат з вершинами .

Означення. Гістограмою частот (відносних частот) називається ступінчаста фігура, складена з прямокутників, побудованих на інтервалах групування.

Площа прямокутників для гістограми частот дорівнює

, .

 статистичним розподілом вибірки називається таблиця, в якій вказані значення х ознаки Х у зростаючому порядку (в цьому випадку значення утворюють дискретний варіаційний ряд, самі значення ознаки називаються варіантами), а також відповідні частоти або відносні частоти

21) Емпірична функція розподілу - це функція розподілу реалізації випадкової величини, яку будують за результатами вимірювань (спостережень).

Нехай маємо випадкову величину  , де n - загальна кількість спостережень. Через   позначимо випадкову величину, яка дорівнює кількості елементів вибірки   значення яких менше x. Тоді емпірична функція розподілу буде задаватись як  .

Для побудови таблиці значень емпіричної функції розподілу використовують такий метод. Спочатку всі результати спостережень впорядковують за зростанням й визначають їх ранги (порядкові номера в отриманої послідовності). Потім кожному спостереженню приводять у відповідність число  .

Графік емпіричної функції розподілу має східчастий вигляд. Із збільшенням кількості спостережень він стає гладкішим, а емпірична функція розподілу наближається до теоретичноїфункції розподілу генеральної сукупності чи певної теоретичної моделі розподілу.

Емпіричні функції розподілу широко використовують у непараметричних статистичних критеріях

Властивості емпіричної функції розподілу:

1) значення емпіричної функції належать проміжку [0; 1]; 2) F*(x) - неспадна функція; 3) якщо Xj і хк - відповідно найменша і найбільша варіанти, то F*(x) = 0 при х < Xj і F*(x) = 1 при х<хк. Графік емпіричної функції - східчаста лінія, яка має розриви (скачки) в точках хІ5 х2