14. Математичне сподівання неперервної випадкової величини.

Властивості математичного сподівання.

15. Математичне сподівання дискретної випадкової величини.

Властивості математичного сподівання.

Випадкова величина ᶓ називається дискретною, якщо множина її значень складає скінчену або злічену множину,тобто таку множину, яку можна записати у вигляді {х1,х2,……хn}. Для того щоб з’ясувати, у який спосіб визначити математичне сподівання дискретної випадкової величини, розглянемо таку задачу.Певний товар продають у 100

магазинах міста по ціні:

16. Дисперсія випадкової величини. Властивості дисперсії.

Дисперсія дискретної випадкової величини .Для опису випадкової величини недостатньо знати тільки математичне сподівання (середнє значення). Пересвідчимося у цьому на наступному прикладі.

17)Диспе́рсія є мірою відхилення значень випадкової величини від центру розподілу. Більші значення дисперсії свідчать про більші відхилення значень випадкової величини від центру розподілу.

Дисперсія випадкової величини або розподіл —це математичне сподівання, або математичне сподівання піднесеного до другого степеня відхилення цієї змінної від її очікуваного значення (її математичного сподівання). Отже дисперсія є вимірюванням величини розпорошеності значень цієї змінної, беручи до уваги всі її значення і їхні ймовірності або ваги.

Наприклад, ідеальна шестистороння кістка, якщо кинути, має таке очікування

Її очікуване абсолютне відхилення таке

Але її очікуване квадратичне відхилення таке

Як ще один приклад, якщо монету підкинути двічі, кількість іверсів становить: 0 з імовірністю 0.25, 1 з імовірністю 0.5 і 2 з імовірністю 0.25. Отже очікування кількості аверсів таке:

і дисперсія така:

Дисперсією випадкової величини   називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від її математичного сподівання (середнього значення). Дисперсія єцентральним моментом другого порядку. ^[1]

Нехай випадкова змінна   може набувати значення   відповідно з ймовірностями   причому  .

• Дисперсія дискретної випадкової величини   має такий вигляд:

,

де

 і називається стандартним відхиленням величини   від її середнього значення  ;

 — це оператор дисперсії випадкової величини.

• Якщо випадкова величина   задана густиною імовірності, тоді дисперсія виглядає так:^[2]

,

де

, тобто це середнє значення величини  ;

 — функція густини імовірності.

Якщо є дискретна випадкова величина  , сума ймовірностей значень якої менше одиниці, тобто  , то дисперсія такої величини визначається так:^[3]

.

[ред.]Теореми

• Дисперсія являє собою різницю математичного очікування   квадрата випадкової величини і квадрата середнього значення   цієї величини:^[2]

.

• Закон додавання дисперсій: Дисперсія   суми   дискретних випадкових величин дорівнює алгебраїчній сумі   значень коваріаційної матриці системи цих величин:^[5]

[ред.]Властивості

• Дисперсія сталої величини дорівнює нулю, тобто  , де  .

• Додавання константи до значень випадкової величини не змінює дисперсії:  .

• Константу можна виносити в квадраті за знак дисперсії:  .

• Дисперсія випадкової змінної є невід'ємною величиною, тобто