2)Властивості ймовірності.

3) Геометрична ймовірність.

Геометрична ймовірність – це поняття ймовірності,що запроваджується так: Нехай   - деяка підмножина прямої, площини чи простору. Випадкова подія   - підмножина  . Тоді ймовірність випадкової події визначається формулою:   де   - довжина, площа чи об’єм множин   та  .

Це пов'язане з інтерпретацією ймовірності як міри на обраному просторі елементарних подій. В даному випадку він збігається з евклідовим простором.

Використання геометричної ймовірності.

• Голка Бюффона: Яка ймовірність того, що голка кинута на поверхню розграфлену паралельними прямими розташованими через однакові проміжки перетне одну з цих прямих?

• Парадокс Бертрана: Яке матсподівання довжини випадково обраної хорди на одиничному колі?

• Яка ймовірність того, що три випадково обрані на площині точки формують гострокутній трикутник?

• Та подібні...

Формально.

Стохастичний експеримент полягає в обранні навмання точки з множини  . За його математичну модель прийнято розглядати ймовірнісний простір  , де   - борелева множина з  ,   - клас борелевих підмножин множини  ,   - ймовірність на класі  , яка для кожного   з цього класу визначається рівністю:

,

де   - міра Лебега на   (значення   на паралелепіпедах  , дорівнює   ).

Так визначену ймовірність назвемо геометричною (зрозуміло, що множина   має задовольняти умову  .

Зауваження 1. З цієї формули випливає рівність: .

Зауваження 2. Імовірність суми трьох сумісних подій обчислюється за формулою: Приклад. Ймовірність попадання в деяку мішень при пострілі з першої гармати дорівнює  , при пострілі з другої гармати  . Знайти ймовірність поразки мішені при одночасному пострілі обох гармат. Мішень вражено, якщо буде хоча б одне попадання з будь-якої гармати. (Покажемо два різних розв’язання).

І.  .  – імовірність хоча б одного попадання.

ІІ. Знайдемо імовірність D – жодного попадання:

Ймовірність хоча б одного попадання:

4) Задача про зустріч.

Приклад на геометричну імовірність. “Задача про зустріч”

(Другий варіант )

Два студенти А і В домовились зустрітись у визначеному місці між12-ю і 13-ю годинами. Кожний, хто прийде першим, чекає другого протягом 20 хвилин, після чого йде з місця зустрічі. Чому дорівнює імовірність зустрічі студентів А і В, якщо прихід кожного з них протягом даного часу може відбутись навгад і моменти приходу незалежні.

Розв’язання.

5) Дискретні випадкові величини.

Поняття випадкової величини (в.в.) є одним з основних в теорії імовірностей та її застосуваннях. випадкова величина – це числова функція  , визначена на просторі елементарних подій. Випадковими величинами (the random variables), наприклад, є число випавших очок при одноразовому киданні грального кубика; число атомів радія, що розпалися за даний проміжок часу; відхилення від номіналу деякого розміру деталі при правильно налагодженому технологічному процесі і т.д.

дискретна випадкова величина – це випадкова величина, значення якої утворюють скінченну, або зліченну множину.

Таким чином випадковою величиною називається змінна величина, яка в результаті досліду може приймати те чи інше числове значення.

Розглянемо випадкову величину  (випадкові величини будемо позначати малими буквами грецького алфавіту), можливі значення якої утворюють скінченну або нескінченну послідовність чисел х₁, х₂, ..., х_n, …

Означення. Нехай задана функція Р(х), значення якої в кожній точці х = х_і (і = 1, 2, …) рівне імовірності того, що величина  прийме значення х_і

Р(х_і) = Р( =х_і). Така випадкова величина   називається дискретною (перервною).

Функція Р(х) називається законом розподілу ймовірностей випадкової величини або законом розподілу. Дана функція визначена в точках послідовності х₁, х₂, .., х_n, ... .

В кожному з дослідів випадкова величина   приймає завжди яке-небудь значення з області її зміни, тому: Р(х₁)+Р(х₂)+…+Р(х_n)+…=1.

Приклад. Випадкова величина   ‑ число очок, які випадають при разовому киданні грального кубика. Можливі значення   ‑ числа 1, 2, 3, 4, 5 і 6. При цьому імовірність того, що   прийме одне з цих значень, одна й та ж сама і рівна 1/6. Таким чином тут закон розподілу ймовірностей є функція Р(х)=1/6 для довільного значення х із множини {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Проводиться n незалежних дослідів, в результаті кожного з яких може з’явитися чи не з’явитися подія А. Нехай імовірність появи події А в кожному з дослідів дорівнює p.

Розглянемо випадкову величину   ‑ число появ події А при n незалежних дослідах. Область зміни  складається з усіх цілих чисел від 0 до n включно.

Закон розподілу ймовірностей   визначається формулою Бернуллі (підрозділ 1.8.).

.

Нехай випадкова величина   може приймати довільне ціле невід’ємне значення. Причому

; ( =0,1,2,…n,…).

де  ‑ деяка додатна константа.

Кажуть, що випадкова величина   розподілена за законом Пуассона, якщо можливі значення випадкової величини   утворюють скінченну послідовність х₁, х₂, …, х_n. Закон розподілу ймовірностей випадкової величини дають у вигляді таблиці, в якій

;  .

Таблиця 2.1

			…
			…

Цю таблицю називають рядом розподілу (the number distribution) випадкової величини  . Функцію  можна показати у вигляді графіка (рис. 2.1).Для цього візьмемо прямокутну систему координат на площині. По горизонтальній осі будемо відкладати можливі значення випадкової величини  , а по вертикальній осі – значення функції  ; якщо з`єднати точки цього графіка, то отримаємо фігуру, що називаєтьсямногокутником розподілу (polygons sharing).

Рис. 2.1