Вторая формула для вычисления дисперсии:

Теорема: дисперсия равна разности между мат. ожиданием квадрата случайной величины и квадрата ее мат. ожидания.

D(X) = M(X²) — (M(X))²

Пример: найти дисперсию случайной величины, которая задана следующим законом распределения:

Х	2	3	5
Р	0,1	0,6	0,3

1. Высчитываем математическое ожидание:

М(Х) = 2 ∙ 0,1 + 3 ∙ 0,6 + 5 ∙ 0,3 = 0,2 + 1,8 + 1,5 = 3,5

2. Рисуем закон распределения КВАДРАТА случайной величины ( то есть все значения Х из данного нам в условии задачи закона распределения мы возводим в квадрат, а вероятности при этом НЕ МЕНЯЮТСЯ!)

Х	4	9	25
Р	0,1	0,6	0,3

13. Ищем математическое ожидание КВАДРАТА случайной величины:

M(X²) = 4 ∙ 0,1 + 6 ∙ 0,6 + 25 ∙ 0,3 = 0,4 + 5,4 + 7,5 = 13,3

4. По формуле высчитываем дисперсию:

D(X) = M(X²) — (M(X))² = 13,3 — (3,5)²= 1,05

Среднее квадратичное отклонение случайной величины

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют корень из дисперсии этой случайной величины.

δ(х)=√D(x)

Дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины (если случайная величина — в метрах, то D(x)=м²)

Среднее квадратическое отклонение имеет размерность случайной величины (если случайная величина — в метрах, то и среднее квадратическое отклонение — в метрах).

Пример: случайная величина задана законом распределения:

Х	2	3	10
Р	0,1	0,4	0,5

Найти δ(х), то есть среднее квадратическое отклонение.

По формуле, δ(х) рассчитывается как корень из дисперсии, то есть сначала нам нужно высчитать дисперсию. Мы возьмем вторую формулу для подсчета дисперсии (напомню, она равна D(x)= M(x²) — (M(x))² ). Итак:

1. Считаем математическое ожидание.

М(Х) = 2 ∙ 0,1 + 3 ∙ 0,4 + 10 ∙ 0,5 = 0,2 + 1,2 + 5 = 6,4

2. Пишем закон распределения для квадрата случайной величины:

Х2	4	9	100
Р	0,1	0,4	0,5

Пояснение: мы возводим в квадрат только возможные значения случайной величины, вероятности НЕ меняются.

3. Ищем математическое ожидание КВАДРАТА случайной величины:

М(Х²)= 4 ∙ 0,9 + 9 ∙ 0,4 + 100 ∙ 0,5 = 0,4 + 3,6 + 50 = 54

4. Высчитываем из полученного дисперсию по указанной выше формуле:

D(x)= M(x²) — (M(x))² = 54 — (6,4)² = 13,04

5. Высчитываем среднее квадратическое отклонение:

δ(х) = √D(x) = √13,04 ≈ 3,61

7 Билет Формула Бернулли.

Пусть производится n независимых испытаний в каждом из которых событие А может наступить либо не наступить

Вероятность наступления А вл всех испытаниях постоянна и равна Р. Тогда Р(А)=1-Р=q(вероятность ненаступления)

В качестве случайной величины х рассматриваем число появления события А в этих испытаниях и построим закон распределения случ вел Х

Х={0;1;2;3…n} X1=0,X2=1…Xn+1=n

Найти вероятность с которой каждая из этих величин может принимать случайное значение.

По формуле бернулли Pn(k)=Cnk(n внизу,k вверху)*p^n*q^(n-k)

Эта формула является аналитическим выражением биноминального закона.

Пример: монета бросается два раза.написать биноминальный закон распределения случайной величины Х определ.как число выпадания герба

P=1/2 => q=1-p=1/2

X={0;1;2}, может выпасть 0 раз, 1 раз или 2 раза

n=2 два раза бросаем

сначала рассчитываем для выпадания герба 0 раз,получаем:

P(0)=C20(2 внизу, 0 вверху)*p^0*q^(2-0)=(1/2)^2=1/1

Аналогично для выпадания герба один раз,только вместо 0 везде ставим 1

И так же аналогично для выпадания герба два раза,только вместо нуля везде ставим 2

2-й вариант(Википедия)

Проводятся   опытов, в каждом из которых может произойти определенное событие («успех») с вероятностью   (или не произойти — «неудача» —  ). Задача — найти вероятность получения   успехов в опыте.

Решение:

Количество успехов — величина случайная, которая имеет распределение Бернули

Определение

Теперь рассмотрим эту задачу подробнее. Возьмём самый простой стохастический эксперимент с двухэлементным пространством элементарных событий. Одно назовём «успехом», обозначим «1», другое — «неудачей», обозначим «0».

Пусть вероятность успеха  , тогда вероятность неудачи  .

Рассмотрим новый стохастический эксперимент, который состоит в  -кратном повторении этого простейшего стохастического эксперимента.

Понятно, что пространство элементарных событий  , которое отвечает этому новому стохастическому эксперименту будет   (1),  . За  -алгебру событий   возьмём булеан пространства элементарных событий   (2). Каждому элементарному событию   поставим в соответствие число  . Если в элементарном событии   успех наблюдается   раз, а неудача —   раз, то  . Пусть  , тогда  . Также является очевидной нормированность вероятности:  .

Поставив в соответствие каждому событию   числовое значение   (3), мы найдём вероятность  . Построенное пространство  , где Ω — пространство элементарных событий, определено равенством (1),  —  -алгебра, определена равенством (2), P — вероятность, определена равенством (3), называется схемой Бернулли для   испытаний.

Набор чисел   называется биномиальным распределением.

Расширенное определение

Обычная формула Бернули применима на случай когда при каждом испытании возможно одно из двух cобытий. Формулу Бернулли можно обобщить на случай, когда при каждом испытании происходит одно и только одно из   событий с вероятностью  , где  . Вероятность появления  раз первого события и   - второго и   раз k-го находится по формуле

,

где 

Свойства

Пусть p - вероятность успеха в схеме Бернулли, q=1-p. Тогда самым вероятным среди событий   является событие  , где   можно найти с неравенства  .