4 Билет Условная вероятность. Вывод формулы полной вероятности

Условная вероятность.

Случайное событие - это событие, которое при осуществлении совокупности условий может произойти или не произойти.

Безусловная вероятность это вероятность события, на которое никаких ограничений не налагается (кроме тех, которые есть в определении случайного события).

Условная вероятность – это вероятность события, на которое налагаются дополнительные условия.

При решении многих задач приходится вычислять вероятность событие, которое может произойти только в том случае. когда произошло перед ним некоторое иное событие.. Например, вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А.

Условной вероятностью Р(А/В) называют вероятность события А, вычисленную в предположении, что событие В уже наступило,

Теорема: Условная вероятность события А при условии, что событие В уже наступило, по определению, равна Р(А/В) =Р(АВ) / Р(В).

Следствие: Р(АВ)=Р(А/В)хР(В) и Р(АВ)=Р(В/А)хР(А)

Формула полной вероятности.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, и В3, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий, а также условия вероятностей.

Теорема: вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, причем эти события образуют полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность собятия А.

Р(А)=Р(В1) х Р(А/В1) +Р(В2) х (Р(А/В2) + … + P(Bn) x P(A/Bn)

Это и есть формула полной вероятности.

5 Билет Условная вероятность. Вывод формулы Байеса.

Условная вероятность — это вероятность некоторого события A, при условии наступления некоторого другого события B; записывается P(A|B) и читается «вероятность A при условии B», или «вероятность A при данном B».

Теорема: Р(АВ)=Р(В)*Р(А/В)

Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А).

Методом математической индукции можно доказать следствие на любом количестве событий, т .е. :

Р(АВС)=Р(А)*Р(В/А)*Р(С/АВ), Р(АВСD)=Р(А)*Р(В/А)*Р(С/АВ)*Р(D/АВС),

Пример: Из 11 карточек составлено слово «следователь». Из них выбирают очередно 4 карточки и подставляют одну к другой. Какова вероятность того, что получится слово «дело»?

События:

Д- первая буква.

Е- вторая буква

Л-третья буква.

О- четвертая буква.

Необходимо найти вероятность - Р(Д*Е*Л*О).

Р(Д*Е*Л*О)= (1/11)*(2/10)*(2/9)*(1/8)=4/7920=1/1980.

Формула Байеса:

Где: — априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);

— вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);

— вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;

— полная вероятность наступления события B.

Вывод формулы Байеса:

Пусть вероятность брака у первого рабочего , у второго рабочего — , а у третьего — . Первый изготовил деталей, второй — деталей, а третий — деталей. Начальник цеха берёт случайную деталь, и она оказывается бракованной. Спрашивается, с какой вероятностью эту деталь изготовил третий рабочий?