6 Билет Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение случайной величины.

К характеристикам, описывающим случайную величину относят математическое ожидание. Если известно, что математ. Ожидание числа всех выбираемых очков у одного стрелка > чем у другого, то первый стреляет лучше, чем второй. Определение: Матиматич. ожидание дискретной случ. величины – это сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности. X (случ. Величина){x1,x2,…xn(возможные значения)} Соответствующие вероятности:p1,p2,…pn. M-математическое ожидание. М(X)=х1*р1+х2*р2+…хn*рn=∑хi pi Математическое ожидание- постоянная величина. Вероятностный смысл математического ожидания: М приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Дисперсия дискретной случайной величины.

Определение: дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание (М) квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Формула:D(X)= M(x-M(x))²

На всякий случай: отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием, то есть отклонение равно х-М(х))

Вот как это действует в таблице:

Строим закон распределения случайной величины Х:

Х	х1	х2	...	xn
Р	р1	р2	...	pn

А это таблица квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, ее в задачах рисовать не надо, но для теории написать стоит:

(х-М(х))2	(х1-М(х))2	(х2-М(х))2	...	(хn-М(х))2
Р	р1	р2	...	pn

Тогда D(X)= М((х-М(х))²) = (х₁-М(х))² ∙ р₁ + (х₂-М(х))² ∙ р₂ + … + (х_n-М(х))² ∙ p_n

Пояснение:

1.) Мат. ожидание у нас равно сумме произведения случайных величин на их вероятности (т.е. М(Х)= х₁ ∙ р₁ + х₂ ∙ р₂ + … + х_n ∙ p_n).

2.) Отклонение у нас равно разность между случ. величиной и ее мат. ожиданием (т. е. оно равно х-М(х)).

3.) Для формулы нам нужен квадрат отклонения (посмотрите таблицу, там мы возводим отклонение в квадрат).

4.) Затем для формулы нам нужно математическое ожидание этого квадрата отклонения (которое было в предыдущем шаге). По формуле мат.ожидания получаем: (х₁-М(х))² ∙ р₁ + (х₂-М(х))² ∙ р₂ + … + (х_n-М(х))² ∙ p_n

Пример: найти дисперсию случайной величины Х,которая задана следующим законом распределения:

Х	1	2	5
Р	0,3	0,5	0,2

Высчитаем мат. jжидание:

М(Х)= 1 ∙ 0,3 + 2 ∙ 0,5 + 5 ∙ 0,2 = 0,3 + 1 + 1 = 2,3

Высчитываем отклонение случ. величин:

(х₁-М(х))² = (1 — 2,3)² = 1,69

(х₂-М(х))² = (2 — 2,3)² = 0,09

(х₃-М(х))² = (5 — 2,3)² = 7,29

Строим таблицу:

(х-М(х))2	1,69	0,09	7,29
Р	0,3	05	0,2

Пояснение: получившиеся отклонения мы как раз и заносим в таблицу. При этом вероятности НЕ меняются, они такие же, как и в данном в условии задачи законе распределения.

Тогда по формуле дисперсии считаем:

D(X)= М((х-М(х))²) = 1 ∙ 0,3 + 0,09 ∙ 0,5 + 7,29 ∙ 0,2 = 2,01.

Ответ: Дисперсия случ. величины Х равна 2,01