23. Общее уравнение плоскости в пространстве, неполные уравнения

плоскостей.

Опр. Общим уравнением плоскости называется линейное уравнение первой степени относительно трех переменных: х, у и z, т.е. уравнение вида

Ax + By + Cz + D = 0.              

Коэффициенты при х, у и z являются координатами вектора, который перпендикулярен плоскости

Частные случаи общего уравнения плоскости

1)D=0,уравнение примет вид Ax + By + Cz=0

Этому уравнению удовлетворяет точка 0,проходящая через начало координат (0,0,0,)

2)С=0,уравнение примет вид Ax + By + D=0,нормальный вектор n(A,B,0) перпендикулярен ОZ

С=0,значит плоскость параллельна OZ

В=0,то плоскость параллельна ОУ

А=0,то плоскость параллельна ОХ

3)D=C=0,то плоскость проходит через О(0,0,0) параллельна оси OZ то есть плоскость Ax + By =0 проходит через ось OZ аналогично плоскость By + Cz =0 проходит через ось ОХ а плоскость Ax+Cz =0 через ось ОУ

4)А=В=0

Cz+D=0,т.е z=- ,значит плоскость параллельна ОХУ,Ах+D задаёт плоскость параллельную ОУZ

By+D=0,плоскость параллельна ОХZ

5)А=В=D=0,то Сz=0,т.е z=0-это уравнение плоскости Оху

Ах=0,т.е. х=0-это уравнение плоскости Оуz

24. Уравнение плоскости в отрезках. Уравнение плоскости, проходящей через

три точки.

Уравнение плоскости "в отрезках"

Пусть на координатных осях заданы точки и , причем (рис.4.18). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.

Подставляя в уравнение (4.21) координаты заданных точек , получаем:

Разделив уравнение на , получаем уравнение

Уравнение плоскости проходящей через 3 точки

25. Угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости.

Опр. Под углом между двумя плоскостями α и β понимается один из двугранных углов образованных этими плоскостями

Угол между двумя нормальными векторами ( плоскостей α и β равен одному из этих углов поэтому

Cosφ= =

где φ-линейный угол двугранного угла равный углу между векторами нормали

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости α равно модулю проекции вектора на направление (A,B,C) где М с координатами (x,y,z)

d=

26 Прямая в пространстве, ее общие и канонические уравнения.

Ах+Ву+Сz+D=0-общее уравнение прямой

-каноническое уравнение

27. Параметрические уравнения прямой в пространстве, точка пересечения

прямой и плоскости.

x=

y= +tn

z= +tp-параметрическое уравнение прямой в пространстве

Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости,нужно привести уравнение прямой к параметрическому виду,потом полученные x,y,z подставляем в уравнение плоскости и получаем точку пересечения

28. Цилиндрические поверхности. Виды цилиндров второго порядка.

Эллиптический цилиндр:	Параболический цилиндр:	Гиперболический цилиндр:

29. Эллипсоид, его каноническое уравнение.

Эллипсо́ид — поверхность в трёхмерном пространстве, полученная деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей. Каноническое уравнение эллипсоида в декартовых координатах, совпадающих с осями деформации эллипсоида:

где - произвольные положительные числа.

Величины a, b, c называют полуосями эллипсоида. Также эллипсоидом называют тело, ограниченное поверхностью эллипсоида. Эллипсоид представляет собой одну из возможных форм поверхностей второго порядка.